6.4.7. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ НАСТРОЙКОЙ

В данном разделе рассматриваются асимптотические свойства установившихся оптимальных законов управления с постоянной настройкой; при этом в критерии весовая матрица заменяется на

где Сначала рассмотрим поведение полюсов замкнутой системы. Из теоремы 6.32 (разд. 6.4.4) следует, что ненулевые характеристические числа замкнутой системы являются теми корнями уравнения

которые по модулю меньше 1, причем Используя леммы 1.2 (разд. 1.5.4) и 1.1 (разд. 1.5.3), напишем

где

является характеристическим полиномом разомкнутой системы, а

матричной передаточной функцией разомкнутой системы.

Чтобы изучить поведение характеристических чисел замкнутой системы, рассмотрим сначала случай скалярных входной и выходной переменных. Предположим, что скалярная передаточная функция может быть записана в виде

где

при является характеристическим полиномом системы и где

при является полиномом числителя системы. Тогда (6.327) принимает следующий вид (в предположении, что

Чтобы применить обычный метод корневого годографа, приведем это выражение к виду

Сделаем следующие - выводы относительно годографов корней этого выражения, считая, что (см. задачу 6.8.4 для случая

годографов начинаются при в точках

2. При годографы ведут себя следующим образом:

корней стремятся к нулям

корней стремятся к значениям, обратным нулям,

в) корней стремятся к нулю;

г) остальные корней стремятся к бесконечности.

3. Те корни, которые перемещаются к бесконечности при , асимптотически удалены на расстояние

от начала координат. Следовательно, те корни, которые перемещаются к нулю, асимптотически находятся на расстоянии

от начала координат.

Информация о полюсах оптимальной замкнутой системы получается при отборе тех корней, которые по модулю меньше 1. Сделаем следующий вывод.

Теорема 6.35. Рассмотрим установившееся решение задачи построения дискретного линейного регулятора с настоянной настройкой в скалярном случае. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где являются ненулевыми характеристическими числами разомкнутой системы, — ненулевыми нулями. Предположим, что что в критерии Тогда справедливо следующее.

а) Из характеристических чисел замкнутой системы всегда находятся в начале координат.

б) При из оставшихся характеристических чисел замкнутой системы стремятся числам где

в) При других трактеристических чисел замкнутой системы перемещаются к нулю. Эти полюса замкнутой системы асимптотически находятся на расстоянии

от начала координат.

г) При ненулевых характеристических. чисел замкнутой системы стремятся к числам где

Проанализируем теперь оптимальный закон управления для ненулевой заданной точки, который получен в разд. 6.4.6. В случае системы со скалярными входной и выходной переменными нетрудно видеть, что передаточная функция от (скалярной) заданной точки (которая здесь является переменной) до управляемой переменной определяется выражением

где — передаточная функция замкнутой системы. Как и в непрерывном случае (разд. 3.8.2), нетрудно убедиться, что можно написать

где — полином числителя передаточной функции разомкнутой, системы, — характеристический полином замкнутой системы. Выражепие для имеет вид

тогда как в пределе при характеристический полином замкнутой системы равен

Подстановка (6.342) в (6.341) с учетом (6.343) и (6.344) показывает, что в пределе при передаточная функция системы управления может быть записана в виде

Теперь, если передаточная функция разомкнутой системы не имеет нулей вне единичного круга, передаточная функция предельной

системы управления сводится к выражению

Это представляет собой чистое запаздывание, т. е. управляемая переменная и переменная заданная точка связаны следующим образом:

Подытожим полученные результаты.

Теорема 6.36. Рассмотрим оптимальный закон управления для ненулевой заданной точки, описанный в разд. 6.4.6, применительно к системе со скалярными входной и выходной переменными. Пусть Тогда при передаточная функция замкнутой системы от заданной точки до управляемой переменной стремится к выражению

где определяются из ненулевых нулей разомкнутой системы, как показано в (6.338), — размерность системы, — степень полинома числителя системы. Если передаточная, функция разомкнутой системы не имеет нулей вне единичного? круга, то передаточная функция предельной системы равна

что представляет собой чистое запаздывание.

Таким образом, если разомкнутая система не имеет нулей вне единичного круга, реакция управляемой переменной на единичное воздействие по заданной точке для предельной замкнутой системы достигает нулевой ошибки слежения после временных интервалов. Этот случай соответствует апериодической реакции выходной переменной,

Обсудим теперь асимптотическое поведение характеристических чисел замкнутых систем в случае многомерной входной переменной. Возвращаясь к (6.327), рассмотрим корни выражения

Очевидно, что при конечные корни этого выражения являются корнями выражения

Пусть

Предположим, что Тогда имеем

откуда видно, что корневых годографов выражения (6.350) при начинаются из ненулевых характеристических чисел разомкнутой системы и чисел, обратных им.

Рассмотрим теперь корни выражения (6.350) при Ясно, что те корни, которые остаются конечными, стремятся к нулям выражения

Предположим теперь, что входпая и управляемая переменные имеют одинаковую размерность, так что является квадратной матричной передаточной функцией, у которой

Тогда нули выражения (6.354) являются пулями выражения

Пусть полином числителя записывается в виде

где Тогда (6.356) может быть представлено как

Отсюда видно, что корневых годографов выражения (6.350) оканчиваются при в ненулевых нулях и в числах, обратных нулям

Предположим, что (случай см. в задаче 6.8.4). Тогда существуют корневых годографов выражения (6.350), которые при начинаются из ненулевых нулей разомкнутой системы и чисел, обратных им. Как было показано, годографов

при оканчиваются в ненулевых нулях разомкнутой системы и числах, обратных им. Из остальных годографов годографов стремятся к бесконечности при тбгда как другие годографов стремятся к началу координат.

Ненулевыми полюсами замкнутой системы являются те корней выражения (6.350), которые лежат внутри единичного круга. Сформулируем в заключение следующее.

Теорема 6.37. Рассмотрим установившееся решение задачи регулирования с постоянной настройкой. Предположим, что и пусть является матричной передаточной функцией разомкнутой системы

Далее, пусть

где

при является характеристическим полиномом разомкнутой системы. Кроме того, предположим, что

при Наконец, пусть где — положительный скаляр. Тогда имеем следующее.

а) Из полюсов замкнутой системы полюсов всегда находятся в начале координат.

б) При из остальных полюсов замкнутой системы полюсов стремятся к числам где

в) При других полюсов замкнутой системы перемещаются к нулю.

г) При ненулевых полюсов замкнутой системы стремятся к числам где

если

Заметим, что в противоположность непрерывному случаю полюса замкнутой системы остаются конечными, когда весовая матрица стремится к нулевой матрице. Аналогично матрица коэффициентов обратной связи также остается конечной. Часто, не не всегда предельная матрица коэффициентов обратной связи может быть найдена при подстановке в разностные уравнения (6.246) и (6.248) и применении итерационной процедуры до тех пор, пока не будет найдено установившееся значение (см. примеры, а также работы [135, 147]).

При анализе реакции замкнутой системы с таким предельным законом обратной связи надо ожидать следующего. Как было показано, предельная замкнутая система асимптотически имеет характеристических чисел в начале координат. Если все нули разомкнутой системы находятся внутри единичного круга, они компенсируют соответствующие предельные полюса замкнутой системы. Это означает, что реакция определяется полюсами в начале координат, и за шагов возпикает апериодическая реакция управляемой переменной. Будем называть это апериодической реакцией выходной переменной в отличие от апериодической реакции состояния, рассмотренной в разд. 6.4.2. Если система обнаруживает апериодическую реакцию выходной переменной, то выходная переменная достигает требуемого значения точно через конечное число шагов, но система в целом может оставаться в движении в течение продолжительного времени; это иллюстрирует один из примеров в конце настоящего раздела. Если разомкнутая система имеет нули вне единичного круга, то эффекта сокращения числа полюсов не происходит, и в результате предельный регулятор не обнаруживает апериодической реакции.

Отметим, что эти замечания являются предположениями, основанными на аналогии с непрерывным случаем. Закопченная теория рассматриваемого дискретного случая еще не создана. Примеры в конце раздела подтверждают сделанные предположения. Существенная разница между дискретной и непрерывной теориями заключается в том, что в дискретном случае установившееся решение Р матричного уравения (6.248) в общем не стремится к нулевой матрице, когда уменьшается До нуля, даже если матричная ггередаточная функция разомкнутой системы не имеет нулей вне единичного круга.

Пример 6.18. Цифровая система управления положением

Рассмотрим цифровую систему управления положением из

Рис. 6.16. Годографы полюсов замкнутой системы и величин, обратных полюсам, в цифровой системе управления положением.

примера 6.2 (разд. 6.2.3). Из примера 6.6 (разд. 6.2.6) известно, что передаточная функция соответствующей разомкнутой системы равна

Из теоремы 6.37 следует, что полюса оптимальной замкнутой системы стремятся к при Нетрудно найти годографы, соответствующие характеристическим числам замкнутой системы. Выражение (6.334) для данной системы принимает вид.

Годографы корней этого выражения показаны на рис. 6.16.

Рис. 6.17. Реакция выходной переменной апериодической цифровой системы управления положением на ступенчатое изменение заданной точки 0,1 рад. (см. скан)

Тегодографы, которые лежат внутри единичного круга, являются годографами полюсов замкнутой системы. Можно найти, что предельная матрица коэффициентов обратной связи системы при имеет

Определим оптимальный закон управления, соответствующий ненулевой заданной точке. В качестве передаточной функции предельной замкнутой системы имеем

Следовательно, , а оптимальный закон управления для ненулевой заданной точки имеет вид

На рис. 6.17 показана реакция системы на ступенчатое изменение заданной точки не только в моменты дискретизации, но и в промежуточные интервалы времени.

Сравнивая этот процесс с найденной в примере 6.13 апериодической

реакцией состояния той же самой системы, обнаруживаем следующее.

а) Когда рассматривается реакция углового положения только в моменты дискретизации, система показывает апериодическую реакцию выходной переменной за один период дискретности. В промежуточные моменты времени, однако, реакция имеет большое перерегулирование, а действительное время установления имеет порядок 2 с, но никак не 0,1 с.

б) Амплитуда входного сигнала и угловой скорости принимает большие значения. 1

Эти недостатки являются характерными для систем управления с апериодической выходной переменной. Лучшие результаты можно получить, не допуская, чтобы стремилось к нулю. При полюса замкнутой системы равны Реакция соответствующей замкнутой системы на ступенчатое воздействие показана в примере 6.17 (рис, 6.15) и, очевидно, является намного лучшей, чем реакция на рис. 6.17.

Недостатки апериодической реакции выходной переменной менее выражены, если период дискретности А выбирается большим. Это принуждает нуль разомкнутой системы двигаться к началу координат; в результате система управления с апериодической выходной переменной в целом приходит к установившемуся состоянию гораздо быстрее. В качестве альтернативы в задаче 6.8.5 рассматривается решение, которое учитывает поведение системы между моментами дискретизации.

Пример 6.19. Смесительный бак при наличии временного запаздывания

Рассмотрим смесительный бак из примера 6.4 (разд. 6.2.3) при наличии запаздывания. В качестве компонент управляемой переменной выберем выходной расход и концентрацию; поэтому

Можно найти, что матричная передаточная функция разомкнутой системы равна

Определитель матричной передаточной функции равен

Поскольку характеристический полином разомкнутой системы имеет вид

полином числителя матричной передаточной функции равен

В результате два полюса замкнутой системы всегда находятся в начале координат. Годографы двух других полюсов при начинаются соответственно при 0,9512 и 0,9048, и оба при стремятся к началу координат. Это означает, что в данном случае закон управления, обеспечивающий апериодическую выходную переменную, обеспечивает также апериодическое состояние.

Рассмотрим критерий

где, как и в предыдущих примерах,

При попытке вычислить предельный закон обратной связи при полагая в разностном уравнении относительно возникают трудности из-за того, что для определенных матрица

становится особой при первой итерации. Этого можно избежать выбором для очень малого значения (например, Используя этот численный метод, в результате вычислений получим предельную матрицу коэффициентов обратной связи

На рис. 6.18 показана апериодическая реакция для двух начальных условий. Видно, что начальные ошибки в объеме уменьшаются до нуля за один период дискретности. Для концентрации требуется два периода дискретности; это обусловлено наличием в системе запаздывания.

Рис. 6.18. Апериодическая реакция смесительного бака при наличии временного запаздывания. Слева — реакции обьема. концентрации, расхода потока и расхода потока № 2 при начальном условии (все другие компоненты начального состояния нулевые); справа — реакции обьема, концентрации, расхода потока № 1 и расхода потока № 2 при начальном условии (все другие компоненты начального состояния нулевые).