1.4.3. ПОДПРОСТРАНСТВА УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ с постоянными ПАРАМЕТРАМИ

В этом разделе показывается, как пространство состояний линейной дифференциальной системы с постоянными параметрами может быть разбито на такие два подпространства, что движение системы из начального состояния, принадлежащего первому подпространству, всегда сходится к нулевому состоянию, тогда как

движение из ненулевого начального состояния, принадлежащего другому подпространству, никогда не сходится.

Рассмотрим систему с постоянными параметрами

и предположим, что матрица А имеет различные характеристические числа (более общий случай обсуждается в данном разделе ниже). Тогда, как было показано в разд. 1.3.3, реакция этой системы может быть представлена в виде

где — характеристические числа, а - соответствующие собственные векторы. Коэффициенты показывают, как осуществляется декомпозиция начального состояния по векторам

Предположим теперь, что система не является асимптотически устойчивой, что соответствует случаю, когда некоторые характеристические числа имеют неотрицательные действительные части. Ясно, что текущее состояние будет сходиться к нулевому состоянию только в том случае, когда начальное состояние имеет компоненты только таким собственным векторам, которые соответствуют устойчивым полюсам.

Если начальное состояние имеет компоненты только по собственным векторам, соответствующим неустойчивым полюсам, реакция системы будет состоять из неубывающих экспонент. Это приводит к следующей декомпозиции пространства состояний.

Определение 1.7. Рассмотрим n-мерную систему где А — постоянная матрица. Положим, что А имеет различных характеристических чисел. Определим подпространство устойчивых состояний этой системы как действительное линейное подпространство, порожденное теми собственными векторами матрицы А, которые соответствуют характеристическим числам со строго отрицательными действительными частями. Для такой системы подпространством неустойчивых состоянии является действительное подпространство, порожденное теми собственными векторами, которые соответствуют характеристическим числам с неотрицательными действительными частями.

Распространим это понятие на линейные системы с постоянными параметрами более общего вида.

В разд. 1.3.4 было показано, что реакция системы может быть представлена в виде

где находятся в нуль-пространствах . Поведение выражения определяется характеристическим числом только в том случае, если имеет строго отрицательную действительную часть, соответствующая компонента состояния стремится к нулевому состоянию. По аналогии с простым случаем, данным в определении 1.7, получаем следующую декомпозицию.

Определение 1.8. Рассмотрим n-мерную линейную систему с постоянными параметрами. Определим подпространство устойчивых состо яний этой системы как действительное подпространство прямой суммы тех нуль-пространстз которые соответствуют характеристическим числам матрицы А со строго отрицательными действительными частями. Аналогичным образом определим подпространство неустойчивых состояний матрицы А как действительное подпространство прямой суммы тех нуль-пространств которые соответствуют характеристическим числам матрицы А с неотрицательными действительными частями.

В соответствии с этим определением все действительное -мерное пространство есть прямая сумма подпространств устойчивых и неустойчивых состояний.

Пример 1.10. Перевернутый маятник

В примере 1.4 (разд. 1.3.3) показано, что матрица А линеаризованного дифференциального уравнения состояния перевернутого маятника имеет следующие характеристические числа и векторы:

Очевидно, что подпространство устойчивых состояний этой системы порождается векторами тогда как подпространство неустойчивых состояний порождается векторами

Пример 1.11. Перевернутый маятник без трения

В примере 1.5 (разд. 1.3.4) была рассмотрена жорданова нормальная форма матрицы А для перевернутого маятника без трепня и найдены двукратное характеристическое число 0 и простые характеристические числа Нуль-пространство, соответствующее характеристическому числу 0, порождается первыми двумя столбцами матрицы Т, т. е.

Эти два вектора вместе с собственным вектором, соответствующим числу т. е.

порождает подпространство неустойчивых состояний системы. Подпространство устойчивых состояний порождается оставшимся собственным вектором