1.12. Задачи

1.12.1. ВРАЩАЮЩИЙСЯ СПУТНИК

Рассмотрим спутник, который вращается относительно своей оси симметрии (рис. 1.11).

Рис. 1.11: Вращающийся спутник.

Угловое положение спутника в момент t обозначим через а постоянный момент инерции спутника — через . С помощью газовых струй к спутнику может быть приложен вращающий момент который рассматривается как входная переменная системы. Трение отсутствует.

а) Возьмите в качестве компонент состояния угловое положение и угловую скорость Пусть — выходная переменная. Покажите, что дифференциальное уравнение состояния и уравнение выходной переменной могут быть пред ставлены в виде

где

0) Вычислите переходную матрицу, импульсную переходную функцию и переходную функцию системы. Начертите график импульсной переходной и переходной функций.

в) Является ли система устойчивой в смысле Ляпунова? Является ли она асимптотически устойчивой?

г) Определите передаточную функцию системы.

д) Рассмотрите задачу поворота спутника из одного положения в другое. В терминах состояния это означает, что. система должна быть переведена из состояния в состояние где — заданные углы.

Рис. 1.12. Входной момент для перемещения спутника.

Предположим, что имеются две газовые струи; они прикладывают моменты в противоположных направлениях, так что входная переменная принимает только значения где а — фиксированное заданное число. Покажите, что спутник может быть повернут с помощью входной переменной, график которой показан на рис. 1.12. Вычислите время переключения и конечное время Начертите траекторию состояния на фазовой плоскости.