3.4. Установившееся решение задачи построения детерминированного линейного оптимального регулятора

3.4.1. ВВЕДЕНИЕ И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

В предыдущем разделе била рассмотрена задача минимизации критерия

для системы

в которой терминальное время конечно. С практической точки зрения естественно рассматривать очень длинные интервалы Поэтому в данном разделе будет детально исследовано асимптотическое поведение решения задачи детерминированного регулирования при

Основные результаты этого раздела можно суммировать следующим образом.

1. Когда терминальное время возрастает до бесконечности, решение матричного уравнения Риккати

с конечным условием

обычно стремится к установившемуся решению которое не зависит от Р

Условия, при которых это имеет место, точно определены в разд. 3.4.2. Далее будет также показано, что в случае неизменных во времени параметров, т. е. когда матрицы постоянно

установившееся решение Р также постоянно и является решением алгебраического уравнения Риккати

Легко установить, что Р является неотрицательно определенной, матрицей. Докажем, что в общем случае (точные условия заданы) установившееся решение Р является решением алгебраического уравнения Риккати, которое неотрицательно определено и может быть определено единственным образом.

Для установившегося решения уравнения Риккати получаем соответственно установившийся закон управления

где

Ниже будет показано, что установившийся закон управления минимизирует критерий (3.145), где Весьма важен следующий вывод.

2. Установившийся закон управления в общем случае асимптотически устойчив. Снова будут определены точные условия. Этот факт интуитивно понять нетрудпо. Так как интеграл

существует для установившегося закона управления, следовательно, в замкнутой системе при . В общем случае это справедливо, если , т. е. когда система асимптотически устойчива.

Последний вывод очень важен, поскольку теперь мы располагаем методами синтеза линейных систем с обратной связью, которые асимптотически устойчивы и в то же время имеют оптимальные характеристики переходного процесса в том смысле, что любое ненулевое начальное состояние переводится в нулевое состояние оптимальным образом. Для систем с постоянными параметрами этот вывод является хорошим дополнением к теории стабилизации, рассмотренной в разд. 3.2, где было показано, что любая система с постоянными параметрами в общем случае, может быть стабилизирована с помощью линейного закона с обратной связью, а полюса замкнутой системы можно разместить произвольно. Решение задачи синтеза регулятора дает метод рационального распределения полюсов. Вопрос об оптимальном распределении полюсов замкнутой системы будет снова рассмотрен в разд. 3.8.

Пример 3.7. Стабилизация угловой скорости

Для задачи стабилизации угловой скорости, рассмотренной в примерах 3.3, 3.5 и 3.6, решение уравнения Риккати описывается выражением (3.144). Легко определить с помощью (3.106), что при

Решение Р можно также найти из алгебраического уравнения (3.149), которое в этом случае сводится к виду

Это уравнение имеет решения

Так как Р должно быть неотрицательным, получаем, что (3.153) является точным решением.

Соответствующий установившийся коэффициент усиления определяется выражением

Подставляя

в дифференциальное уравнение состояния системы, получим следующее дифференциальное уравнение состояния замкнутой системы:

Очевидио, что эта система асимптотически устойчива.

Пример 3.8. Управление положением

Как более сложный пример рассмотрим задачу управления положением из примера 3.4 (разд. 3.3.1). Установившееся решение Р уравнения Риккати (3.147) должно теперь удовлетворять уравнению

Пусть обозначает элементы матрицы Р. Тогда, учитывая получим из (3.159) следующие алгебраические уравнения:

Эти уравыения имеют несколько решений, однако легко проверить, что только неотрицательно определенному решению удовлетворяют соотношения

Соответствующая матрица коэффициентов обратной связи для установившегося состояния определяется выражением

Таким образом, входная переменная равна

Легко показать, что оптимальная замкнутая система описывается дифференциальным уравнением состояния

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

а характеристические числа равны

Рис. 3.8. Годограф корней замкнутой системы управления положением в функции

На рис. 3.8 приведен годограф характеристических чисел замкнутого контура при изменении Интересно отметить, что при уменьшении полюса замкнутого контура перемещаются в бесконечность вдоль двух прямых линий, образующих угол с отрицательной вещественной осью. Асимптотические значения полюсов замкнутой системы определяются выражением

На рис. 3.9 показан переходный процесс в оптимальной замкнутой системе, соответствующий следующим значениям параметров:

Рис. 3.9. Реакция оптимальной системы управления положением на начальные условия

Соответствующая, матрица коэффициентов усиления равна

а вычисленные полюса замкнутой системы составляют Видно, что данная схема эквивалентна схеме с обратной «вязью по положению и скорости, рассмотренной в примере 2.4 (разд. 2.3). Матрица усиления (3.169) оптимальна с точки зрения характеристик переходного процесса. Интересно отметить, что современные методы проектирования реализуются в виде системы второго порядка с относительным демпфированием , которое точно такое же, как и в примере 2.7 (разд. 2.5.2), где исследована наиболее рациональная схема.

Заканчивая обсуждение, отметим, что, как следует из примера 3.4, если представляет собой отклонение от некоторого равновесного состояния не являющегося нулевым состоянием, то в законе управления (3.163) необходимо заменить на где

а — заданное угловое положение. В итоге получим закон управления

где Блок-схема системы, соответствующая этому закону управления, приведена на рис. 3.10.

Пример 3.9. Смесительный бак

В качестве другого примера рассмотрим смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3). Предположим, что необходимо стабилизировать выходной расход и выходную концентрацию Поэтому в качестве управляемой переменной выберем

Здесь используются численные значения из примера 1.2. При определении весовой матрицы будем придерживаться тех же соображений, что и в примере 2.8 (разд. 2.5.3). Номинальная величина выходного расхода составляет а номинальная величина выходной концентрации — Предположим, что матрица выбрана диагональной с диагональными элементами и Тогда

где Если изменение выходного расхода на 10% должно производить такое же изменение критерия, как -ное изменение выходной концентрации то должно существовать примерное равенство

т. е.

Поэтому выберем

или

Чтобы выбрать матрицу используем такой же подход Изменение расхода на 10% составляет в то время как -ное изменение расхода равно Выберем Тогда изменение расходов и на 10% вызовет изменение величины критерия, равное

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Обе составляющие вносят одинаковое изменение, если

Поэтому выберем

где — скалярная константа, которую необходимо определить.

На рис. 3.11 приведены характеристики оптимальной замкнутой системы в установившемся режиме при и 0,1. Случай соответствует разомкнутой системе (управление отсутствует). Видно, что с уменьшением непрерывно возрастает быстродействие за счет все большего увеличения амплитуды входной переменной. В табл. 3.1 приведены характеристики замкнутой системы в функции

Таблица 3.1. Распределение установившихся полюеов оптимальной замкнутой системы регулирования смесительного бака в функции

Видно, что во всех случаях полюса замкнутой системы находятся в левой области комплексной плоскости.

Здесь не указаны матрицы усиления пайденпые для каждого значения однако оказывается, что они не диагональные отличие от рассмотренных в примере 2.8. Системы с обратной связью, рассмотренные в настоящем примере, онтимальны в том смысле, что являются наилучшим компромиссом между требованием максимального быстродействия и ограничениями по амплитуде входной переменной.

И наконец, из графиков на рис. 3.11 видно, что в замкнутой системе относительно невелико взаимовлияние, т. е. реакция на начальное возмущение по концентрации слабо влияет на объем бака и наоборот.