1.6.3. ПОДПРОСТРАНСТВО УПРАВЛЯЕМЫХ СОСТОЯНИЙ

В этом разделе анализируется структура линейных систем с постоянными параметрами, которые не являются полностью управляемыми. Если система не является полностью управляемой, то, очевидно, представляет интерес определение части пространства состояний, которая может быть достигнута. В связи с этим вводится следующее определение.

Определение 1.13. Подпространство управляемых состоянии линейной системы с постоянными параметрами

является линейным подпространством, состоящим из состояний, которые могут быть достигнуты из нулевого состояния за конечное время.

В связи с ролью, которую играет матрица управляемости Р, является закономерным следующий результат.

Теорема 1.24. Подпространство управляемы? состояний n-мерной линейной системы с постоянными параметрами

является линейным подпространством, порожденным столбцами матрицы управляемости

Эта теорема непосредственно следует из доказательства теоремы 1.23, где показано, что любое состояние, которое может быть достигнуто из нулевого состояния, принадлежит подпространству, порожденному вектор-столбцами , а любое состояние, не принадлежащее указанному подпространству, не может быть достигнуто. Подпространство управляемых состояний обладает следующим свойством.

Лемма 1.3. Подпространство управляемых состояний системы инвариантно по отношению к матрице А, т. е. если вектор х принадлежит подпространству управляемых состояний, то вектор также принадлежит этому подпространству.

Доказательство этой леммы проведем по схеме доказательства

теоремы 1.23. Подпространство управляемых состояний порождается вектор-столбцами матриц Таким образом, вектор; где вектор, принадлежащий подпространству управляемых состояний, принадлежит линейному подпространству, порожденному вектор-столбцами матриц Вектор-столбцы матрицы , однако, линейно зависят от вектор-столбцов матриц поэтому принадлежит подпространству, порожденному вектор-столбцами матриц что означает принадлежность вектора подпространству управляемых состояний. Следовательно, подпространство управляемых состояний инвариантно по отношению к матрице А.

Понятие подпространства управляемых состояний можно пояснить следующим фактом.

Теорема 1.25. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами Тогда система из любого начального состояния, принадлежащего подпространству управляемых состояний, может быть переведена в любое конечное состояние, принадлежащее подпространству управляемых состояний, за конечное время.

Докажем этот результат, для чего запишем выражение для состояния системы в момент

Теперь заметим, что если принадлежит подпространству управляемых состояний, то вектор также принадлежит ему, так как подпространство управляемых состояний инвариантно по отношению к матрице Поэтому если принадлежит пространству управляемых состояний, то также принадлежит ему. Выражение (1.293) показывает, что любой вектор входной переменной, который переводит нулевое состояние в состояние также переводит Поскольку принадлежит подпространству управляемых состояний, такой входной вектор существует; таким образом, теорема 1.25 доказана.

Найдем теперь матрицу преобразования состояния с целью представления системы в канонической форме, которая облегчает исследование свойств управляемости системы.

Предположим, что Р имеет ранг т. е. матрица Р имеет линейно независимых вектор-столбцов. Это означает, что подпространство управляемых состояний системы (1.290) имеет размерность т. Примем векторы в качестве базиса подпространства управляемых состояний. Далее, выберем

линейно независимых векторов которые вместе с векторами порождают все -мерное пространство. Сформируем теперь неособую матрицу преобразования

где

Наконец, введем преобразованную переменную состояния определяемую соотношением

Подставляя (1.297) в дифференциальное уравнение состояния (1.290), получим

или

Разобьем на подматрицы следующим образом:

при этом разбиение соответствует разбиению Т в том смысле, что имеет строк, содержит строк. В результате имеем

откуда

Матрица состоит из векторов которые порождают подпространство управляемых состояний. Это означает, что из (1.302) следует.

для любого вектора х, принадлежащего подпространству управляемых состояний.

С учетом разбиений (1.294) и (1.300) напишем

Все столбцы матрицы принадлежат подпространству управляемых состояний. Это означает, что все столбцы матрицы также принадлежат указанному подпространству, так как подпространство управляемых состояний инвариантно по отношению к матрице А (лемма 1.3). Однако тогда из (1.303) вытекает

Очевидно, все столбцы матрицы В принадлежат подпространству управляемых состояний, так как В является частью матрицы управляемости. Поэтому также получаем

Подведем итоги обсуждения следующим результатом.

Теорема 1.26. Рассмотрим n-мерную систему с постоянными параметрами.

Сформируем неособую матрицу преобразования вектор-столбцы матрицы Ту образуют базис -мерного подпространства управляемых состояний системы (1.308), а вектор-столбцы матрицы вместе, с вектор-столбцами матрицы образуют базис всего n-мерного пространства. Определим преобразованное состояние в виде

Тогда дифференциальное уравнение состояния (1.308) преобразуется в каноническую форму управляемости

Здесь матрица а пара является полностью управляемой.

Разбивая вектор

где имеет размерность размерность и принимая во внимание теорему 1.26, легко установить, что преобразованную систему можно представить в виде, показанном на рис. 1.9. Отметим, что поведение полностью независимо, тогда как на

оказывают влияние как так и входная переменная u. Тот факт, что пара полностью управляема, следует из того, что любое состояние вида принадлежит подпространству управляемых состояний системы (1.310). Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.

Следует отметить, что каноническая форма управляемости не является единственной, так как матрицы могут быть выбраны до некоторой степени произвольно.

Рис. 1.9. Каноническая форма управляемости линейной дифференциальной системы с постоянными параметрами.

Однако нетрудно убедиться, что, какой бы ни была матрица преобразования Т, характеристические числа обеих матриц всегда являются такими же, как в исходной системе (задача 1.12.5).

Вполне естественно назвать характеристические числа матрицы А полюсами управляемости системы, а характеристические числа матрицы полюсами неуправляемости. Предположим теперь, что все характеристические числа системы (1.310) являются различными (это ограничение несущественно). Тогда нетрудно показать (задача 1.12.5), что подпространство управляемых состояний системы (1.310) порождается собственными векторами, соответствующими полюсам управляемости системы. Это утверждение также справедливо и для исходного представления (1.308) системы. Тогда естественно определить подпространство неуправляемых состояний (что пока еще не сделано) как подпространство, порожденное векторами, соответствующими полюсам неуправляемости системы.

Пример 1.21. Смесительный бак

Смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3) описывается дифференциальным уравнением состояния

и его матрица управляемости имеет вид

Ранг матрицы Р равен двум при условии Следовательно, система является полностью управляемой, если

Если то и матрица управляемости принимает вид

Следовательно, подпространство управляемых состояний порождается вектором Это означает, как было видно из примера 1.19, что можно управлять только объемом жидкости в баке, по не концентрацией.

В заключение отметим, что при дифференциальное уравнение состояния (1.312) принимает вид (1.279), что является уже канонической формой управляемости. Значение соответствует полюсу управляемости, а — полюсу неуправляемости.