1.7.4. ОБНАРУЖИВАЕМОСТЬ

В предыдущем разделе было показано, что при наблюдении выходной переменной не полностью восстанавливаемой системы всегда существует неопределенность в определении действительного состояния системы, так как к любому возможному состоянию можно добавить произвольный вектор, принадлежащий подпространству невосстанавливаемых состояний (теорема 1.34). Самое лучшее, на что можно рассчитывать в данной ситуации, состоит и следующем.

Любое состояние, принадлежащее подпространству невосстанавливаемых состояний, обладает тем свойством, что дйижение системы из этого состояния при нулевом входном сигнале сходится к нулю. Это соответствует случаю, когда любое состояние, принадлежащее подпространству невосстанавливаемых состояний, принадлежит также подпространству устойчивых состояний системы. Тогда, что бы ни было принято в качестве невосстанавливаемон

компоненты состояния, ошибка никогда не будет неограниченно возрастать. Систему, обладающую таким свойством, будем называть обнаруживаемой [185]. Определим это свойство следующим образом.

Определение 1.20. Линейная система с постоянными параметрами

является обнаруживаемой, если ее подпространство невосстанавливаемых состояний содержится в подпространстве устойчивых состояний.

Удобно использовать следующую упрощенную терминологию.

Определение 1.21. Пара является обнаруживаемой, если система

является обнаруживаемой.

Следующий результат непосредственно вытекает из определения.

Теорема 1.36. Любая асимптотически устойчивая система вида (1.384) является обнаруживаемой. Любая полностью восстанавливаемая система вида (1.384) является обнаруживаемой.

Обнаруживаемые системы обладают следующим свойством.

Теорема 1.37. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами

Предположим, что, согласно теореме 1.35, система преобразована к виду

где пара является полностью восстанавливаемой. Тогда.

система является обнаруживаемой в том и только том случаег если матрица асимптотически устойчивая.

Теорему можно подытожить следующим утверждением: система является обнаруживаемой тогда и только тогда, когда ее полюса невосстанавливаемости являются устойчивыми. Докажем теорему следующим образом.

а) Из обнаруживаемости следует асимптотическая устойчивость Пусть вектор преобразованной переменной состояния разбит следующим образом:

где размерность вектора равна рангу матрицы восстанавливаемости. То, что система является обнаруживаемой, обусловливает следующий факт: любое начальное состояние, принадлежащее подпространству невосстанавливаемых состояний, дает реакцию, сходящуюся к нулю. Любое начальное состояние, принадлежащее подпространству невосстанавливаемых состояний, имеет в преобразованном представлении вид

Изменение преобразованного состояния из этого начального состояния определяется выражением

Поскольку эта реакция должна сходиться к нулю, матрица должна быть устойчивой.

б) Из асимптотической устойчивости следует обнаруживаемостъ. Любое начальное состояние принадлежащее подпространству невосстанавливаемых состояний, должно в преобразованном представлении иметь вид

Движение из этого состояния описывается выражением

Поскольку матрица является устойчивой, такая реакция сходится к нулю. Это показывает, что состояние которое по предположению принадлежит подпространству невоестанавливаемых состояний, также принадлежит и подпространству устойчивых состояний. Из этого следует, что система является обнаруживаемой.

Пример 1.26. Перевернутый маятник.

Рассмотрим перевернутый маятник в преобразованном представлении из примера 1.25. Матрица имеет характеристическое число 0, откуда следует, что система не является обнаруживаемой. Это означает, что, если первоначально существует неопределенность в определении положения тележки, такая ошибка будет оставаться постоянной.