5.7.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

В этом разделе приведены некоторые результаты, которые оказываются полезными при разработке эффективной вычислительной программы решения установившегося варианта задачи линейного оптимального управления с обратной связью и с постоянными параметрами для регулятора пониженной размерности. В частности, описывается метод вычисления градиента целевой функции (в данном случае по неизвестным параметрам (которые в данном случае являются элементами матриц ). Этот градиент можно использовать в любом стандартном алгоритме минимизации функции, использующем градиенты, таком, как метод сопряженных градиентов и метод Пауэлла — Флетчера (см, например, работы [136] или [16] для углубленного ознакомления с методами оптимизации при отсутствии ограничений).

Градиентные методы, в частности, полезны для решения настоящей задачи минимизации функции, поскольку, как будет показано, градиент можно легко вычислить. Кроме того, довольно просто удовлетворить ограничение (5.259б), так как система управления является асимптотически устойчивой, если начальные значения матриц специально выбираются так, чтобы удовлетворялось это ограничение. Затем производится движение достаточно малыми шагами по указанным направлениям поиска, так как с приближением границы области, в которой система управления устойчива, критерий становится бесконечным, и, таким образом, создается естественный барьер движению из области устойчивости.

Здесь следует сделать замечание о математическом описании регулятора. Очевидно, что величина критерия определяется только внешним описанием регулятора, т.е. его матричной передаточной функцией или матрицей импульсной реакции Хорошо известно, что при заданном внешнем описании возможны различные внутренние описания (в форме

дифференциального уравнения состояния совместно с уравнением для выходной переменной). Поэтому если задача оптимизации начинается с внутреннего описания регулятора, как это обычно принято, а все входы матриц считаются свободными параметрами, то минимизирующие значения матриц вовсе не являются единственными. Это может создать трудности вычисления. Кроме того, размерность задачи минимизации функции чрезмерно возрастает. Такие трудности можно преодолеть, выбирая каноническое представление уравнений регулятора. Например, если регулятор является системой с одним входом, то в канонической форме фазовой переменной уравнений состояния (см. разд. 1.9) имеется минимальное число свободных параметров. Аналогично, когда регулятор представляет собой систему с одним выходом, минимальное число свободных параметров имеет каноническая форма удельной фазовой переменной (см. также разд. 1.9). Для многомерных систем можно использовать связанные канонические формы [28]. Заметим, однако, что часто можно существенно уменьшить число свободных параметров, налагая ограничения на структуру регулятора, например объединяя в блоки некоторые малосущественные обратные связи.

Рассмотрим, наконец, вопрос об оценке градиента от по входам матриц Пусть у является одним из свободных параметров. Тогда, вводя матрицу

можно записать градиент по у в следующем виде:

Кроме того, беря частную производную выражения (5.259а) по тому же параметру, найдем

Здесь удобно ввести линейное матричное уравнение, которое является сопряженным для уравнения (5.259а) и определяется в виде

Используя тот факт, что для любых матриц одинаковой размерности напишем с помощью выражений (5.265) и (5.266) для градиента (5.264)

Таким образом, чтобы вычислить градиент функции цели по одному из свободных параметров у, необходимо решить линейные матричные уравнения (5.259а) и (2.266) относительно соответственно, а получающиеся значения подставить в уравнение (5.267). Если рассматриваются различные параметры, то нет необходимости повторять весь объем вычислений, которые состоят из решенйя двух матричных уравнений. В разд. 1.11.3 были рассмотрены численные методы решения линейных матричных уравнений указанного типа.

Пример 5.8. Система управления положением

В этом примере будет построена система управления положением с ограничением на размерность регулятора. Управляемая система представляет собой двигатель постоянного тока из примера 5.3 (разд. 5.3.2), который описывается дифференциальным уравнением состояния и уравнением для наблюдаемой переменной

где — белые шумы с интенсивностью соответственно. Как и в примере 5.3, выберем критерий который необходимо минимизировать, в виде

где — управляемая переменная. Как следует из примера 5.3, оптимальный регулятор без ограничения размерности имеет размерность, равную 2. Единственным возможным регулятором меньшей размерности без прямой связи является регулятор первого порядка, который описывается скалярными уравнениями

Здесь без потери общности принимается Тогда решаемая задача формулируется таким образом: найти константы при которых критерий (5.269) достигает минимума.

В примере 5.3 использовались следующие численные значения:

Характеристики оптимального регулятора, полученные при представлены в первой колонке табл. 5.2.

Таблица 5.2. Сравнение характеристик систем управления положением с регуляторами первого и второго порядков (см. скан)

Нетрудно найти параметры регулятора первого порядка (5.270), при которых минимизируется критерий (5.269). В данном случае можно определить точные выражения для среднеквадратической ошибки регулирования и входного напряжения. Численная или аналитическая оценка оптимальных величин параметров при приводит к значениям

Характеристики полученного регулятора указаны во второй колонке табл. 5.2. Видно, что среднеквадратическая величина входного напряжения у этого регулятора больше, чем у оптимального регулятора второго порядка. Несколько увеличиваяр, получаем регулятор первого порядка с таким же среднеквадратичееким значением входного напряжения, как и у регулятора второго порядка. В третьей колонке табл. 5.2 указаны характеристики регулятора

второго порядка. Регулятор характеризуется следующими значениями параметров:

Сравнейие данных, приведенных в табл. 5.2, показывает, что оптимальный регулятор первого порядка имеет среднеквадратическую ошибку регулирования, которая приблизительно в 1,5 раза больше, чем у регулятора второго порядка. Приемлемо это или нет, зависит от назначения системы. Заметим, что доминирующие полюса замкнутой системы управления пониженного порядка (в точках удалены от доминирующих полюсов системы второго порядка (в точках Наконец, находим, что передаточная функция регулятора первого порядка равна

Этот регулятор имеет очень широкую полосу пропускания. Если полоса пропускания шума наблюдений (который аппроксимируется белым шумом, однако на практике имеет ограниченную полосу пропускания) не больше полосы пропускания регулятора, то регулятор можно заменить постоянным коэффициентом усиления

Однако при этом предполагается, что процедуру оптимизации, возможно, придется повторить, вводя шум наблюдений с соответствующей полосой пропускания и определяя регулятор нулевого порядка в виде постоянного коэффициента усиления.