1.5.4. СОЕДИНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Ниже рассматриваются соединения линейных систем. Наиболее важными и часто встречающимися примерами соединения систем являются последовательное соединение (рис. 1.5) и соединение посредством обратной связи, или замкнутая система (рис. 1.6).

Рис. 1.5. Последовательное соединение

Рис. 1.6. Соединение посредством обратной связи.

Соединения систем обычно описываются с помощью метода расширения фазового Пространства. Пусть отдельные системы в последовательном соединении (рис. 1.5) описываются следующими дифференциальными уравнениями состояния и уравнениями выходных переменных

Вводя расширенный вектор состояния

объединенную систему можно описать следующим дифференциальным уравнением состояния:

где используется равенство Принимая за выходную переменную объединенной системы, получим уравнение

В случае систем с постоянными параметрами соединение систем удобно описать при помощи матричных передаточных функций. Предположим, что являются матричными передаточными функциями соответственно систем 1 и 2.

Тогда общая передаточная матрица равна что следует из соотношения:

Заметим, что порядок в общем случае не может быть изменен.

В системе с обратной связью (рис. является входным сигналом. Предположим, что отдельные системы описываются следующими дифференциальными уравнениями состояния и уравнениями выходных переменных:

Заметим, что система 1 не имеет прямой связи. Это позволяет избежать неявных алгебраических уравнений. С помощью расширенного вектора состояния система с обратной связью может быть описана дифференциальным уравнением состояния

где используются равенства . Если выходная переменная объединенной системы, то уравнение имеет вид

Рассматривая систему с постоянными параметрами, имеем

где — матричные передаточные функции отдельных систем.

Разрешая (1.226) относительно найдем

Выражению удобно дать специальное определение.

Определение 1.10. Рассмотрим объединенную систему с обратной связью (рис. 1.6), в которой системы 1 и 2 с постоянными параметрами имеют матричные передаточные функции соответственно. Матричная функция для такой системы

называется матрицей возвратной разности, а матричная

функция называется матрицей усиления, контура.

Термин «возвратная разность» может быть пояснен с помощью рис. 1.7, на котором показана система при наличии разрыва соединительной цепи.

В случае имеем

Рис. 1.7. Иллюстрации термина «возвратная разность».

Разность выражений «возвратной переменной» и «введенной переменной» равна

Заметим, что при наличии разрыва контура в каком-либо другом месте матрица возвратной разности будет иметь другой вид. Тем не менее будем строго придерживаться определения, данного пыше. Термин «матрица усиления контура» достаточно ясен.

Определяющее значение для автоматического управления имеет вопрос об устойчивости соединений систем. Для последовательного соединения получаем следующий результат, который немедленно вытекает из рассмотрения характеристического полинома дифференциального уравнения расширенного состояния (1.220).

Теорема 1.20. Рассмотрим последовательное соединение (рис. 1.6), где системы 1 и 2 являются системами с постоянными параметрами и характеристическими полиномами соответственно. Соединение имеет характеристический полином Поэтому объединенная система является асимптотически устойчивой в том и только том случае, когда системы 12 асимптотически устойчивы.

В терминах матричных передаточных функций устойчивость систем с обратной связью (рис. 1.6) может быть исследована с помощью следующего результата [36-75].

Теорема 1.21. Рассмотрим систему с обратной связью (рис. 1.6), в которой системы 1 и 2 являются системами с постоянными параметрами и имеют матричные передаточные функции соответственно; при этом в системе 1 нет прямой связи. Тогда характеристический полином замкнутой системы равен.

Поэтому замкнутая система является устойчивой тогда и только тогда, когда полином имеет нули со строго отрицательными действительными частями.

Перед доказательством результата нужно отметить следующее. Выражение является рациональной функцией от Если не происходит сокращения, знаменатель этой функции равен так что числитель выражения является характеристическим полиномом объединенной системы. Выражение (1.232) часто называют характеристическим полиномом замкнутого контура:

Теорему 1.21 можно доказать следующим образом. Для случая постоянных параметров из выражения (1.224) следует

дифференциальное уравнение состояния замкнутой системы

Покажем, что характеристический полином этой системы в точности соответствует (1.232). Для этого необходим следующий результат из теории матриц.

Лемма 1.2, Пусть М — квадратная блочная матрица вида

Тогда при имеем

а при получаем

Лемма просто доказывается посредством элементарных действий со строками и столбцами матрицы М. С помощью лемм 1.2 и 1.1 (разд. 1.5.3) характеристический полином (1.233) может быть записан следующим образом:

Так как

выражение (1.237) может быть переписано в виде

Отсюда следует, что (1.232) является характеристическим

полиномом замкнутой системы; таким образом, устойчивость непосредственно определяется корнями выражения (1.232).

Этот метод проверки устойчивости замкнутых систем обычно более удобен для систем со скалярными входной и выходной переменными, чем для многомерных систем. Для случая одномерных систем имеем

где — полиномы числителей. На основании теоремы 1.21 устойчивость определяется корнями полинома

При проектировании линейных автоматических систем часто имеет место ситуация, когда коэффициент усиления в обратной связи или в прямой цепи остается неопределенным до последнего этапа синтеза. Возьмем в качестве примера

где — неопределенный коэффициент усиления. Характеристические числа замкнутой системы являются в этом случае корнями выражения

Возникает интересная задача, состоящая в построении годографа корней этого полинома как функции скалярного параметра Это частный случай более общей задачи нахождения на комплексной плоскости годографа корней выражения

при изменении параметра где — произвольно заданные полиномы. Правила построения такого годографа приводятся и следующем разделе.

Пример 1.16. Перевернутый маятник

Рассмотрим задачу стабилизации маятника из примера 1.1 (разд. 1.2.3). Ясно, что, если маятник начинает падать вправо, тележка также должна двигаться вправо. Поэтому попытаемся использовать для управления приложенную к тележке силу которая пропорциональна углу Этот угол можно измерить потенциометром, установленным на оси; сила прикладывается с помощью небольшого сервомотора. Таким образом, имеем

где k — константа. Нетрудно найти, что передаточная функция от равна

Передаточная функция звена в обратной связи определяется из (1.245) как

Характеристический полином системы управления положением имеет вид

тогда как характеристический полином звена в обратной связи равен

Из (1.246) и (1.247) имеем

тогда как из (1.248) и (1.249) получаем

Заметим, что в данном случае знаменатель выражения не является произведением характеристических полиномов (1.251) и что множитель был сокращен. Поэтому числитель (1.250) не является характеристическим полиномом замкнутой системы. Вычисляя произведение выражеций (1.250) и (1.251), найдем, что характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Очевидно, что одно из характеристических чисел замкнутого контура равно нулю. Более того, поскольку другой множитель содержит член с отрицательным коэффициентом, согласно хорошо

известному критерию Рауса—Гурвица [159] существует по крайней мере один корень с положительной действительной частью. Это означает, что система не может быть стабилизирована данным способом. В примере 2.6 (разд. 2.4) рассматривается более сложная схема управления, с помощью которой удается добиться стабилизации системы.

Пример 1.17. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3). Положим, что требуется установить такой режим работы системы, при котором поддерживаются постоянный расход и постоянная концентрация Один из методов достижения этой цели состоит в регулировании расхода путем изменения расхода основного потока и регулировании концентрации с посредством изменения расхода другого потока

Пусть выбраны следующие законы изменения входных переменных:

Это означает, что система имеет в цепи обратной связи матричную передаточную функцию

При численных значениях параметров из примера 1.2 матричная передаточная функция системы в прямой цепи равна

Тогда матрица возвратной разности имеет вид

Найдем характеристические полиномы двух систем:

Из (1.256) следует

Так как знаменатель этого выражения представляет собой произведение его числитель является характеристический полиномом замкнутой системы. Выполняя дальнейшее преобразование выражения для характеристического полинома, получим

Это выражение показывает, что для положительных значений замкнутая система является устойчивой. Выберем следующие значения для коэффициентов усиления: . Тогда характеристический полином имеет вид

Характеристические числа равны

Эффективность схемы управления (1.253) исследуется в примере 2.8 (разд. 2.5.3).