6.8. Задачи

6.8.1. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ЗАДАЧА ДИСКРЕТНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассматривается линейная дискретная система

с модифицированным критерием

Покажите, что минимизация выражения (6.508) для системы (6.507) эквивалентна обычной задаче дискретного регулирования, где минимизируется критерий

для системы

при

6.8.2. ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО СОСТОЯНИЮ КАК ЗАДАЧА РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Рассматривается линейная дискретная система

Здесь возмущающая переменная моделируется в виде

где представляет собой последовательность некоррели рованных векторов с заданными матрицами дисперсий. Используется критерий

а) Покажите, как задача управления системой с минимизацией критерия (6.514) может быть преобразована в обычную задачу стохастического регулирования.

б) Покажите, что оптимальный закон управления может быть представлен в виде

где матрицы коэффициентов обратной связи не зависят от свойств возмущающей переменной.

6.8.3. ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО СОСТОЯНИЮ КАК ЗАДАЧА СЛЕЖЕНИЯ

Рассматривается линейная дискретная система

Используется эталонная переменная которая моделируется с помощью уравнений

где представляет собой последовательность некоррелированных стохастических векторов с матрицами дисперсий Используется также критерий

а) Покажите, как задача управления системой с минимизацией критерия (6.518) может быть преобразована в обычную задачу построения стохастического дискретного оптимального регулятора.

б) Покажите, что оптимальный закон управления может быть представлен в виде

где матрицы коэффициентов обратной связи не зависят от свойств эталонной переменной.

6.8.4. ПОЛЮСА ЗАМКНУТОГО РЕГУЛЯТОРА

Докажите следующее обобщение теоремы 6.37 (разд. 6.4.7). Рассматривается установившееся решение задачи построения линейного дискретного оптимального регулятора с постоянной настройкой. Предположим, что и пусть

и

где положительный скаляр. Наконец, положим Тогда:

а) Из полюсов замкнутого регулятора всегда остаются в начале координат.

б) При из оставшихся полюсов замкнутого регулятора стремятся к числам которые определяются в уравнении (6,363).

в) Прир других полюсов замкнутого регулятора стремятся к началу координат.

г) При из ненулевых полюсов замкнутого регулятора стремятся к числам которые определяются в уравнении (6.364).

д) При других ненулевых полюсов стремятся к началу координат.

6.8.5. ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ ГИБРИДНОГО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОГО РЕГУЛЯТОРА

Рассматривается дискретная система, которая получается в результате воздействия кусочно-постоянной переменной на непрерывную систему

При переходе от непрерывного описания к дискретному используется процедура и обозначения разд. 6.2.3. Желательно учесть поведение системы между моментами дискретизации, поэтому используется интегральный (а не суммарный) критерий

Здесь первый момент дискретизации, последний.

а) Покажите, что минимизация критерия (6.522) при управлении системой (6.521) посредством ступенчатых входных сигналов эквивалентна минимизации выражения вида

для дискретной системы

где - переходная матрица системы (6.521). Дайдите выражения для

б) Предполагается, что А, В, и — постоянные матрицы, а период дискретности постоянный. Покажите, что, если период дискретности мал, первые приближения для определяются соотношениями

6.8.6. АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ

Рассматривается система

где процесс образует последовательность некоррелированных векторных стохастических переменных с нулевыми средними и матрицами дисперсий

Далее, векторная стохастическая величина, некоррелированная с со средним значением и матрицей дисперсий

Покажите, что наилучший линейный оцениватель процесса по данным (а не как в разд. 6.5), может быть описан выражением

Здесь матрицы коэффициентов К получаются из итеративных соотношений

для всех Здесь матрица дисперсий ошибки восстановления вспомогательная матрица. Начальное условие для (6.528) определяется в виде

где

Начальная матрица дисперсий, которая служит в качестве на- чального условия для итеративных соотношений (6.529), определяется выражением

Примечание: Чтобы получить уравнение наблюдателя, надо выразить через и использовать стандартный вариант задачи наблюдения, приведенный в тексте.

6.8.7. СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

Рассматриваются матричное разностное уравнение

и линейное выражение

Докажите, что это выражение может быть записано в виде

где последовательность матриц удовлетворяет матричному разностному уравнению

6.8.8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Рассматривается линейная дискретная система с постоянными параметрами

для всех где процесс образует последовательность стохастических векторов, некоррелированных между собой и с Рассматривается регулятор с постоянной настройкой

Делается предположение, что соединение регулятора и объекта является асимптотически устойчивым.

а) Найдите матричные соотношения, которые можно использовать для вычисления выражений вида

и

Предполагая, что могут быть разработаны вычислительные программы для определения таких матриц регулятора при которых (6.539) минимизируется, а (6.540) ограничивается заданной величиной, разработайте схему метода для построения дискретных оптимальных регуляторов пониженной размерности с обратной связью по выходной переменной. с подходом для непрерывного случая, рассмотренном в разд. 5.7.)

б) При использовании градиентных методов для численного решения задачи оптимизации (а) полезен следующий результат. Пусть и являются заданными матрицами совместимых размеров и зависят от параметра у. Пусть представляет собой решение линейного матричного уравнения

а скаляр

является функцией у. Тогда градиент выражения (6.542) относительно у определяется в виде

где является решением вспомогательного матричного уравнения

Докажите это