Главная > Линейные оптимальные системы управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.3. Задача детерминированного линейного оптимального управления

3.3.1. ВВЕДЕНИЕ

В разд. 3.2 было показано, что при определенном условии (полной управляемости) линейная система с постоянными параметрами всегда может быть стабилизирована с помощью закона управления с обратной связью. Систему можно стабилизировать, поскольку полюса замкнутой системы могут быть произвольно расположены на комплексной плоскости; кроме того, путем соответствующего выбора полюсов в левой половине комплексной плоскости можно обеспечить как угодно быструю сходимость к нулевому состоянию. Однако, чтобы повысить быстродействие системы, необходимо иметь входную переменную большой амплитуды. В любой практической задаче амплитуда входной переменной должна быть ограничена, и это налагает ограничение на возможное перемещение полюсов замкнутой системы в левой полуплоскости. Эти соображения приводят к постановке задачи оптимизации, в которой одновременно учитываются скорость перехода системы в нулевое состояние и величина амплитуды входной переменной.

Чтобы поставить эту задачу оптимизации, отложим рассмотрение вопроса о размещении полюсов и обратимся к нему в разд. 3.8.

Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, описываемую дифференциальным уравнением состояния

и исследуем задачу перевода этой системы из произвольного начального состояния в нулевое состояние с максимальной скоростью (вразд. 3.7 будет рассмотрен случай, когда заданное состояние не является нулевым). Существует много критериев скорости перехода системы из начального состояния в нулевое; весьма эффективным является квадратический интегральный критерий

Здесь неотрицательно определенная симметрическая матрица. Величина является мерой отклонения состояния системы в момент t от нулевого состояния; весовая матрица определяет вес каждой из компонент состояния. Интеграл (3.35) является критерием суммарного отклонения от нулевого состояния на интервале времени

Как было показано в гл. 2, во многих задачах управления можно идентифицировать управляемую переменную . В используемых линейных моделях обычно имеем

Если в реальной задаче управляемая переменная обращается в нуль с максимально возможной скоростью, то критерий (3.35) можно привести к виду

где — положительно определенная симметрическая весовая матрица. Легко показать, что (3.37) эквивалентно (3.35), так как с учетом (3.36) можно написать

где

При попытке найти оптимальное значение переменной на входе системы путем минимизации величины (3.35) или (3.37) обычно сталкиваются с трудностью, заключающейся в бесконечно больших амплитудах входной переменной. Чтобы преодолеть эту трудность, учтем входную переменную в критерии и рассмотрим выражение

где — положительно определенная симметрическая весовая матрица. Учет второго члена в критерии приводит к снижению амплитуды входной переменной, если попытаться, насколько это возможно, уменьшить общую величину выражения (3.40). Вклад каждого из двух членов в критерии определяется матрицами

Если необходимо обеспечить максимальную близость терминального состояния к нулевому состоянию, то в отдельных

случаях целесообразно дополнить критерий (3.40) третьим членом

где — неотрицательно определенная симметрическая матрица.

Теперь можно сформулировать задачу детерминированного линейного оптимального регулятора.

Определение 3.2. Рассмотрим линейную систему с постоянными-параметрами

где

с управляемой переменной

Рассмотрим также критерий

где — неотрицательно определенная симметрическая матрицау — положительно определенные симметрические матрицы при . Тогда задача определения входной переменной при которой критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального регулятора.

В этой главе, как и во всей книге, предполагается, что есть непрерывная функция — кусочно-непрерывные функции и все эти матричные функции ограничены.

Задача синтеза регулятора с постоянной настройкой является специальным случаем.

Определение 3.3. Если все матрицы в постановке задачи детерминированного линейного оптимального регулятора постоянны, то эту задачу будем называть детерминированной задачей линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами.

Продолжим в этом разделе дальнейшее обсуждение постановки задачи регулирования. Во-первых, учтем, что в этой задаче, как указывалось в определении 3.2, рассматривается только переходный процесс, произвольное начальное состояние которого должно, быть переведено в нулевое состояние. Постановка задачи не включает возмущений или эталонной переменной, которую необходимо

отслеживать; эти более сложные случаи обсуждаются в разд. 3.6.

Значительные трудности создает выбор весовых матриц в критерии (3.45); их необходимо выбирать следующим, образом. Обычно можно определить интегральную квадратическую ошибку регулирования, интегральную квадратическую входную переменную и взвешенную квадратическую терминальную ошибку. Интегральная квадратическая ошибка регулирования описывается выражением

где весовая матрица, обеспечивающая соответствующую размерность и физический смысл Выбор таких весовых матриц рассматривался в гл. 2. Интегральная квадратическая входная переменная выражается в виде

где вееовая матрица определяется аналогичным образом. И наконец, взвешенная квадратическая терминальная ошибка равна

где — соответствующая весовая матрица. Теперь будут рассмотрены следующие задачи.

1. Минимизация интегральной квадратической ошибки регулирования при ограничении максимальной величины интегральной квадратичеекой входной переменной и взвешенной квадратической терминальной ошибки.

2. Минимизация взвешенной квадратической терминальной ошибки при ограничении максимальной величины интегральной квадратической входной переменной и интегральной квадратической ошибки регулирования.

3. Минимизация интегральной квадратической входной переменной при ограничении максимальной величины интегральной квадратической ошибки регулирования и взвешенной квадратической терминальной ошибки.

Все эти задачи можно исследовать, минимизируя критерий

где константы выбираются соответствующим образом

Рис. 3.2. Изменение интегральной квадратической; ошибки регулирования в зависимости от интегральной квадратической величины входного воздействия при

Выражение (3.45) имеет точно такой же вид. Рассмотрим, например, весьма важный случай, когда терминальная ошибка несущественна и необходимо минимизировать интегральную ошибку регулирования при интегральной квадратической входной переменной, которая непревышает определенной величины. Поскольку терминальная ошибка не учитывается, примем Так как минимизируется интегральная квадратическая ошибка регулирования, примем Рассмотрим, таким образом, минимизацию величины

Скаляр теперь играет роль множителя Лагранжа. Чтобы определить соответствующую величину решим задачу при различных значениях . В результате получим график, приведенный на рис. 3.2, где результирующая интегральная квадратическая ошибка представлена в виде зависимости от интегральной квадратической входной переменной с в качестве параметра. При уменьшении результирующая интегральная квадратическая ошибка убывает, а интегральная квадратическая входная переменная возрастает. Из этого графика можно определить величину при которой ошибка регулирования достаточно мала, а значения входной переменной не очень велики.

С помощью этого же графика можно решить задачу минимизации интегральной квадратической входной переменной при ограниченной величине интегральной квадратической ошибки регулирования.

Другие варианты задачи можно решить аналогичным образом. Видно, что задача регулирования, сформулированная в определении 3.2, является весьма многосторонней и может быть видоизменена для различных целей.

В следующих разделах будет показано, что решение задачи регулирования может быть дано в форме линейного закона управления, который имеет несколько полезных свойств. Это делает задачу исследования интересной и практически целесообразной.

Пример 3.3. Задача стабилизации угловой скорости

В качестве первого примера рассмотрим задачу стабилизации: угловой скорости. Объект состоит из двигателя постоянного токаг управляемого входным напряжением с угловой скоростью вала . Система описывается скалярным дифференциальным уравнением состояния

где а и х — известные константы.

Рассмотрим задачу стабилизации угловой скорости вращения относительно заданной величины При постановке общей задачи управления начало координат пространства состояний выбиралось в равновесной точке. Так как в рассматриваемой задаче заданное равновесное положение равно сдвинем начало координат. Пусть является постоянным входным напряжением, которому соответствует величина угловой скорости в установившемся состоянии. Тогда связаны соотношением

Введем теперь новую переменную состояния

Тогда из (3.51) с учетом (3.52) следует, что удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния

где

Это показывает, что задача перевода системы (3.51) из произвольного начального состояния в состояние эквивалентно переводу системы (3.51) из начального состояния в равновесное состояние Таким образом, без нарушения общности рассмотрим задачу управления системой (3.51) относительно нулевого состояния. Управляемой переменной С в этой задаче, очевидно, является состояние

Выберем в качестве критерия оптимальности выражение

при . Этот критерий гарантирует, что отклонения относительно нуля ограничены [т. е. близко к ], что не слишком велико не отклоняется сильно от значения и что терминальное состояние близко к нулю близко к Величины должны быть определены методом проб и ошибок. Используем следующие значения а и

Пример 3.4. Управление положением

В примере 2.4 (разд. 2.3) была рассмотрена задача управления положением двигателя постоянного тока. Система описывается дифференциальным уравнением состояния

где компонентами являются угловое положение и угловая скорость а входная переменная представляет собой напряжение на входе усилителя постоянного тока, который управляет двигателем. Предположим, что необходимо обеспечить постоянное положение Как и в предыдущем примере, сдвинем начало координат пространства состояний, чтобы получить обычную задачу регулирования. Введем новую переменную состояния с компонентами

Простая подстановка показывает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния

Отметим, что в отличие от предыдущего примера не требуется определять новую входную переменную. Это следует из того факта, что можно обеспечить любое постоянное угловое положение при нулевой входной переменной. Так как система (3.61) идентична

(3.59), опустим штрихи и рассмотрим задачу управления системой (3.59) относительно нулевого состояния.

Для управляемой переменной выберем угловое положепие

Соответствующий критерий оптимальности имеет вид

Положительный скалярный коэффициент определяет относительный вес каждого члена в подынтегральном выражепии. При этом используются следующие значения х:

1
Оглавление
email@scask.ru