3.3. Задача детерминированного линейного оптимального управления

3.3.1. ВВЕДЕНИЕ

В разд. 3.2 было показано, что при определенном условии (полной управляемости) линейная система с постоянными параметрами всегда может быть стабилизирована с помощью закона управления с обратной связью. Систему можно стабилизировать, поскольку полюса замкнутой системы могут быть произвольно расположены на комплексной плоскости; кроме того, путем соответствующего выбора полюсов в левой половине комплексной плоскости можно обеспечить как угодно быструю сходимость к нулевому состоянию. Однако, чтобы повысить быстродействие системы, необходимо иметь входную переменную большой амплитуды. В любой практической задаче амплитуда входной переменной должна быть ограничена, и это налагает ограничение на возможное перемещение полюсов замкнутой системы в левой полуплоскости. Эти соображения приводят к постановке задачи оптимизации, в которой одновременно учитываются скорость перехода системы в нулевое состояние и величина амплитуды входной переменной.

Чтобы поставить эту задачу оптимизации, отложим рассмотрение вопроса о размещении полюсов и обратимся к нему в разд. 3.8.

Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, описываемую дифференциальным уравнением состояния

и исследуем задачу перевода этой системы из произвольного начального состояния в нулевое состояние с максимальной скоростью (вразд. 3.7 будет рассмотрен случай, когда заданное состояние не является нулевым). Существует много критериев скорости перехода системы из начального состояния в нулевое; весьма эффективным является квадратический интегральный критерий

Здесь неотрицательно определенная симметрическая матрица. Величина является мерой отклонения состояния системы в момент t от нулевого состояния; весовая матрица определяет вес каждой из компонент состояния. Интеграл (3.35) является критерием суммарного отклонения от нулевого состояния на интервале времени

Как было показано в гл. 2, во многих задачах управления можно идентифицировать управляемую переменную . В используемых линейных моделях обычно имеем

Если в реальной задаче управляемая переменная обращается в нуль с максимально возможной скоростью, то критерий (3.35) можно привести к виду

где — положительно определенная симметрическая весовая матрица. Легко показать, что (3.37) эквивалентно (3.35), так как с учетом (3.36) можно написать

где

При попытке найти оптимальное значение переменной на входе системы путем минимизации величины (3.35) или (3.37) обычно сталкиваются с трудностью, заключающейся в бесконечно больших амплитудах входной переменной. Чтобы преодолеть эту трудность, учтем входную переменную в критерии и рассмотрим выражение

где — положительно определенная симметрическая весовая матрица. Учет второго члена в критерии приводит к снижению амплитуды входной переменной, если попытаться, насколько это возможно, уменьшить общую величину выражения (3.40). Вклад каждого из двух членов в критерии определяется матрицами

Если необходимо обеспечить максимальную близость терминального состояния к нулевому состоянию, то в отдельных

случаях целесообразно дополнить критерий (3.40) третьим членом

где — неотрицательно определенная симметрическая матрица.

Теперь можно сформулировать задачу детерминированного линейного оптимального регулятора.

Определение 3.2. Рассмотрим линейную систему с постоянными-параметрами

где

с управляемой переменной

Рассмотрим также критерий

где — неотрицательно определенная симметрическая матрицау — положительно определенные симметрические матрицы при . Тогда задача определения входной переменной при которой критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального регулятора.

В этой главе, как и во всей книге, предполагается, что есть непрерывная функция — кусочно-непрерывные функции и все эти матричные функции ограничены.

Задача синтеза регулятора с постоянной настройкой является специальным случаем.

Определение 3.3. Если все матрицы в постановке задачи детерминированного линейного оптимального регулятора постоянны, то эту задачу будем называть детерминированной задачей линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами.

Продолжим в этом разделе дальнейшее обсуждение постановки задачи регулирования. Во-первых, учтем, что в этой задаче, как указывалось в определении 3.2, рассматривается только переходный процесс, произвольное начальное состояние которого должно, быть переведено в нулевое состояние. Постановка задачи не включает возмущений или эталонной переменной, которую необходимо

отслеживать; эти более сложные случаи обсуждаются в разд. 3.6.

Значительные трудности создает выбор весовых матриц в критерии (3.45); их необходимо выбирать следующим, образом. Обычно можно определить интегральную квадратическую ошибку регулирования, интегральную квадратическую входную переменную и взвешенную квадратическую терминальную ошибку. Интегральная квадратическая ошибка регулирования описывается выражением

где весовая матрица, обеспечивающая соответствующую размерность и физический смысл Выбор таких весовых матриц рассматривался в гл. 2. Интегральная квадратическая входная переменная выражается в виде

где вееовая матрица определяется аналогичным образом. И наконец, взвешенная квадратическая терминальная ошибка равна

где — соответствующая весовая матрица. Теперь будут рассмотрены следующие задачи.

1. Минимизация интегральной квадратической ошибки регулирования при ограничении максимальной величины интегральной квадратичеекой входной переменной и взвешенной квадратической терминальной ошибки.

2. Минимизация взвешенной квадратической терминальной ошибки при ограничении максимальной величины интегральной квадратической входной переменной и интегральной квадратической ошибки регулирования.

3. Минимизация интегральной квадратической входной переменной при ограничении максимальной величины интегральной квадратической ошибки регулирования и взвешенной квадратической терминальной ошибки.

Все эти задачи можно исследовать, минимизируя критерий

где константы выбираются соответствующим образом

Рис. 3.2. Изменение интегральной квадратической; ошибки регулирования в зависимости от интегральной квадратической величины входного воздействия при

Выражение (3.45) имеет точно такой же вид. Рассмотрим, например, весьма важный случай, когда терминальная ошибка несущественна и необходимо минимизировать интегральную ошибку регулирования при интегральной квадратической входной переменной, которая непревышает определенной величины. Поскольку терминальная ошибка не учитывается, примем Так как минимизируется интегральная квадратическая ошибка регулирования, примем Рассмотрим, таким образом, минимизацию величины

Скаляр теперь играет роль множителя Лагранжа. Чтобы определить соответствующую величину решим задачу при различных значениях . В результате получим график, приведенный на рис. 3.2, где результирующая интегральная квадратическая ошибка представлена в виде зависимости от интегральной квадратической входной переменной с в качестве параметра. При уменьшении результирующая интегральная квадратическая ошибка убывает, а интегральная квадратическая входная переменная возрастает. Из этого графика можно определить величину при которой ошибка регулирования достаточно мала, а значения входной переменной не очень велики.

С помощью этого же графика можно решить задачу минимизации интегральной квадратической входной переменной при ограниченной величине интегральной квадратической ошибки регулирования.

Другие варианты задачи можно решить аналогичным образом. Видно, что задача регулирования, сформулированная в определении 3.2, является весьма многосторонней и может быть видоизменена для различных целей.

В следующих разделах будет показано, что решение задачи регулирования может быть дано в форме линейного закона управления, который имеет несколько полезных свойств. Это делает задачу исследования интересной и практически целесообразной.

Пример 3.3. Задача стабилизации угловой скорости

В качестве первого примера рассмотрим задачу стабилизации: угловой скорости. Объект состоит из двигателя постоянного токаг управляемого входным напряжением с угловой скоростью вала . Система описывается скалярным дифференциальным уравнением состояния

где а и х — известные константы.

Рассмотрим задачу стабилизации угловой скорости вращения относительно заданной величины При постановке общей задачи управления начало координат пространства состояний выбиралось в равновесной точке. Так как в рассматриваемой задаче заданное равновесное положение равно сдвинем начало координат. Пусть является постоянным входным напряжением, которому соответствует величина угловой скорости в установившемся состоянии. Тогда связаны соотношением

Введем теперь новую переменную состояния

Тогда из (3.51) с учетом (3.52) следует, что удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния

где

Это показывает, что задача перевода системы (3.51) из произвольного начального состояния в состояние эквивалентно переводу системы (3.51) из начального состояния в равновесное состояние Таким образом, без нарушения общности рассмотрим задачу управления системой (3.51) относительно нулевого состояния. Управляемой переменной С в этой задаче, очевидно, является состояние

Выберем в качестве критерия оптимальности выражение

при . Этот критерий гарантирует, что отклонения относительно нуля ограничены [т. е. близко к ], что не слишком велико не отклоняется сильно от значения и что терминальное состояние близко к нулю близко к Величины должны быть определены методом проб и ошибок. Используем следующие значения а и

Пример 3.4. Управление положением

В примере 2.4 (разд. 2.3) была рассмотрена задача управления положением двигателя постоянного тока. Система описывается дифференциальным уравнением состояния

где компонентами являются угловое положение и угловая скорость а входная переменная представляет собой напряжение на входе усилителя постоянного тока, который управляет двигателем. Предположим, что необходимо обеспечить постоянное положение Как и в предыдущем примере, сдвинем начало координат пространства состояний, чтобы получить обычную задачу регулирования. Введем новую переменную состояния с компонентами

Простая подстановка показывает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния

Отметим, что в отличие от предыдущего примера не требуется определять новую входную переменную. Это следует из того факта, что можно обеспечить любое постоянное угловое положение при нулевой входной переменной. Так как система (3.61) идентична

(3.59), опустим штрихи и рассмотрим задачу управления системой (3.59) относительно нулевого состояния.

Для управляемой переменной выберем угловое положепие

Соответствующий критерий оптимальности имеет вид

Положительный скалярный коэффициент определяет относительный вес каждого члена в подынтегральном выражепии. При этом используются следующие значения х: