2.6. Анализ переходных процессов в следящих системах

В предыдущем разделе подробно обсуждались свойства следящих систем в установившемся состоянии. Данный раздел содержит исследование поведения следящих систем в переходном процессе, в частности исследование поведения среднего значения квадрата ошибки слежения и среднего значения квадрата входной переменной. Определим время установления определенного процесса (среднего значения квадрата ошибки слежения, среднего значения квадрата входной переменной или какой-либо другой переменной) как время, в течение которого переменная достигает установившегося значения в пределах заданной точности. Если эта точность равна, скажем, максимального отклонения от установившегося значения, то говорят об -ном времени установления. Для других значений используется аналогичная терминология.

Обычно в момент начала работы системы управления начальная ошибка слежения и соответственно начальное значение входного сигнала бывают большими. Очевидно, желательно, чтобы среднее значение квадрата ошибки слежения достигало своего установившегося значения как можно быстрее после включения системы. Таким образом, сформулируем следующую рекомендацию.

Принцип проектирования 2.4. Система управления должна быть спроектирована так, чтобы время установления среднего значения квадрата ошибки слежения было по возможности малым.

Как было показано в разд. 2.5.1, среднее значение квадрата ошибки слежения, соответствующее эталонной переменной, состоит из двух составляющих, одна из которых обусловлена постоянной частью эталонной переменной, а другая — ее переменной

частью. Поведение составляющей от переменной части в переходном режиме должно быть найдено из решения (довольно трудоемкого) матричного дифференциального уравнения относительно матрицы дисперсий состояния системы управления. Поведение в переходном режиме составляющей от постоянной части найти намного проще; это можно сделать, вычислив реакцию системы управления из ненулевых начальных условий и на ступенчатое изменение эталонной переменной. Как правило, вычисление этих реакций дает очень хорошее представление о поведении системы управления в переходном режиме.

Для асимптотически устойчивых линейных систем управления с постоянными параметрами некоторая информация относительно времени установления часто может быть получена из расположения полюсов замкнутой системы. Это следует из того факта, что все реакции представляют собой экспоненциально демпфированные движения с постоянными времени, которые являются отрицательными обратными величинами действительных частей характеристических чисел замкнутой системы. Поскольку 1%-ное время установления процесса

равно граница для -ного времени установления какой-либо переменной определяется неравенством

где характеристические числа замкнутой системы. Заметим, что для квадратических переменных, таких, как среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входной переменной, время установления равно половине времени установления самой переменной.

Определение границы с помощью выражения (2.132) иногда может ввести в заблуждение, поскольку всегда может случиться, что реакция данной переменной не зависит от некоторых характеристических чисел. Позднее (разд. 3.8) рассматривается случай, где время установления среднеквадратической ошибки слежения определяется самыми отдаленными от начала координат полюсами замкнутой системы, а не близкими полюсами, тогда как время установления среднеквадратического значения входной переменной зависит лишь от близких Полюсов замкнутой системы.

Пример 2.9. Время установления ошибки слежения в системе управления положением

Рассмотрим систему управления положением с вариантом I регулятора из примера 2.4 - (разд. 2.3). Из анализа установившегося состояния в примере 2.7 (разд. 2.5.2) найдено, что с

увеличением коэффициента Л установившаяся среднеквадратическая ошибка слежения продолжает уменьшаться, хотя увеличение этого коэффициента выше 15—25 В/рад приводит лишь к очень небольшому улучшению среднеквадратической ошибки слежения, тогда как среднеквадратическое значение входного напряжения непрерывно возрастает. Рассмотрим теперь время установления ошибки слежения.

Рис. 2.23. Реакции системы управления положением (вариант I) на ступенчатое изменение 0,1 рад эталонной переменной для различных значений коэффициента .

На рис. 2.23 представлена реакция управляемой переменной из нулевых начальных условий для различных значений К на ступенчатое изменение эталонной переменной. Очевидно, что время установления реакции на ступенчатое воздействие (в данном случае ошибки слежения) сначала быстро уменьшается с ростом А, но затем после значения ~15 В/рад почти не уменьшается из-за усиливающихся колебаний реакции. В этом случае оказывается, что самое подходящее значение X находится около 15 В/рад, что соответствует параметру демпфирования С «0,7 (пример 2.7). Из графика на рис. 2.18 Ьидим, что при этом значении коэффициента получается самая, большая полоса пропускания, а нежелательный пик частотной характеристики отсутствует.