1.10. Векторные стохастические процессы

1.10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В следующих главах в качестве математических моделей возмущающих и шумовых воздействий используются стохастические процессы. На исследуемые системы весьма часто оказывают одновременное действие как возмущения, так и шумы. В связи с этим ткшикает необходимость рассмотреть векторные стохастические процессы, что и составляет предмет изучения данного раздела.

Стохастический процесс может быть представлен как семейство Функций времени. Каждую функцию времени будем называть реализацией процесса. Предположим, что являются скалярными стохастическими процессами, которые, возможно, взаимно зависимы. Тогда назовем

векторным стохастическим процессом. Всегда будем предполагать, что каждая компонента вектора принимает действительные значения и что где задано.

Стохастический процесс может быть охарактеризован посредством совместного распределения вероятностей

для всех действительных для всех и для каждого натурального числа . Здесь векторное неравенство по определению удовлетворяется, если неравенства

удовлетворяются одновременно. Значения являются компонентами вектора т. е.

Особый класс стохастических процессов составляют те процессы, стохастические свойства которых не изменяются с течением времени. Определим их более точно.

Определение 1.26. Стохастический процесс является стационарным, если

для всех для всех для каждого целого положительного числа и для всех 0. Совместное распределение

вероятностей, которое характеризует стационарный стохастический процесс, является, таким образом, инвариантным относительно изменения начала отсчета времени.

Во многих случаях представляют интерес только свойства первого и второго порядков стохастического процесса, а именно среднее значение и ковариационная матрица или, что эквивалентно, матрица смешанных моментов второго порядка. Определим эти термины следующим образом.

Определение 1.27. Рассмотрим векторный стохастический процесс Тогда

назовем вектором средних значений (средним значением) процесса,

ковариационной матрицей, а

матрицей смешанных моментов второго порядка. Матрица называется матрицей дисперсий, а

— матрицей моментов второго порядка.

Здесь Е — оператор математического ожидания. В дальнейшем часто будем предполагать, что рассматриваемый стохастический процесс имеет нулевое среднее, т. е. для всех в этом случае ковариационная матрица и матрица смешанных моментов второго порядка совпадают. Матрица смешанных моментов второго порядка в рассмотренном виде записывается следующим образом:

Каждый элемент матрицы является скалярным смешанным моментом. Подобным же образом каждый элемент матрицы является скалярной ковариационной функцией. Нетрудно доказать следующее.

Теорема 1.44. Ковариационная матрица и матрица, смешанных моментов второго порядка векторного стохастического процесса имеют следующие свойства:

где — среднее значение процесса.

Здесь — квадратная симметрическая неотрицательно определенная действительная матрица, т. е.

Теорему нетрудно доказать на основании определений Поскольку свойства второго порядка стохастических процессов в равной мере хорошо характеризуются как ковариационной матрицей, так и матрицей смешанных моментов, обычно будем рассматривать только ковариационную матрицу. Для стационарных процессов имеем следующий результат.

Теорема 1.45. Предположим, что — стационарный стохастический процесс. Тогда его среднее значение является постоянным, а его ковариационная матрица зависит только от

Это нетрудно показать, используя определение стационарности. Иногда имеют место стохастические процессы с постоянным средним и ковариационной матрицей, зависящей только от , тогда как другие статистические свойства не являются свойствами стационарных процессов. Поскольку часто представляют интерес только свойства первого и второго порядков стохастического процесса, введем следующее определение.

Определение 1.28. Стохастический процесс называется стационарным вгиироком смысле если матри моментов второго порядка является конечной для всех среднее значение постоянно, а ковариационная матрица зависит только от

Очевидно, что любой стационарный процесс с конечной матрицей моментов второго порядка является также стационарным и широком смысле.

Пусть — два векторных стохастических процесса. Тогда и называются независимыми процессами, если являются независимыми множествами стохастических переменных для всех и для всех натуральных чисел . Далее, называются некоррелированными стохастическими

процессами, если и являются некоррелированными векторными стохастическими переменными для всех т. е.

для всех является средним процесса — средним процесса

Пример 1.27. Гауссовские стохастические процессы

Гауссовский стохастический процесс является стохастическим процессом, где для каждого множества моментов времени n-мерный вектор стохастических переменных имеет гауссовское совместное распределение вероятностей. Если составная ковариационная матрица

является неособой, то соответствующая функция плотности вероятностей может быть записана в виде

Матрица размерности получается разбиением соответствующим разбиению матрицы а именно

Заметим, что этот процесс полностью характеризуется его средним и ковариационной матрицей; таким образом, гауссовский процесс является стационарным в том и только том случае, если он стационарный в широком смысле.

Пример 1.28. Экспоненциально коррелированный шум.

Широко известным видом стохастического процесса, стационарного в широком смысле, является так называемый экспоненциально коррелированный шум. Это скалярный стохастический

процесс с ковариационной функцией

где — дисперсия процесса, «постоянная времени». Такую ковариационную функцию имеют многие известные в практике процессы.

Пример 1.29. Процессы с некоррелированными приращениями Процесс с некоррелированными приращениями может быть определен следующим образом.

1. Начальное значение

2. Для любой последовательности моментов где приращения имеют нулевые средние и являются некоррелированными, т. е.

Нетрудно найти среднее такого процесса:

Предположим, что Тогда ковариационная матрица имеет вид

где

является матрицей дисперсий процесса. Аналогичным образом для

Ясно, что процесс с некоррелированными приращениями не является стационарным или стационарным в широкой смысле, за исключением тривиального случая, при котором

Рассмотрим теперь матрицу дисперсий процесса. Для можно написать

Очевидно, является монотонно неубывающей матричной функцией от t в том смысле, что

Здесь, если А и В — две симметрические действительные матрицы. запись

предполагает, что матрица неотрицательно определенная. Предположим теперь, что матричная функция абсолютно непрерывная, т. е. можно написать

где — неотрицательно определенная симметрическая матричная функция. Тогда из (1.443) следует, что матрица дисперсий приращения — определяется выражением

С учетом (1.440) и (1.442) видно, что если справедливо выражение (1.446), то ковариационная матрица процесса может быть выражена следующим образом:

Одним из широко известных процессов с некоррелированными приращениями является процесс броуновского движения, также известный как процесс Винера, или процесс Винера — Леви. Это процесс с Некоррелированными приращениями, где каждое из приращений является гауссовским стохастическим вектором с нулевым средним и матрицей дисперсий , а I — единичная матрица. Обобщением данного процесса Является процесс, для которого каждое приращение является гауссовским стохастическим вектором с нулевым средним и матрицей дисперсий вида (1.447). Так как приращения в процессе броуновского движения некоррелированные и гауссовские, они

являются независимыми. Очевидно, что броуновское движение является гауссовским процессом. В теории стохастических процессов рассмотренные процессы занимают важное место.