1.9. Канонические формы фазовой переменной
При рассмотрении линейных систем с постоянными параметрами и скалярной входной переменной иногда бывает удобно использовать так называемую каноническую форму фазовой переменной.
Определение 1.24. Линейная система с постоянными параметрами и скалярной входной переменной представлена в канонической форме фазовой переменной, если уравнения системы имеют вид
Заметим, что никаких особых ограничений на матрицу С это определение не накладывает. Нетрудно видеть, что числа 
, являются коэффициентами характеристического полинома 
системы, где 
Нетрудно показать, что система (1.404) всегда полностью управляема. Действительно, любая полностью управляемая система со скалярной входной переменной может быть преобразована к канонической форме фазовой переменной.
Теорема 1.43. Рассмотрим полностью управляемую систему с постоянными параметрами и скалярной входной переменной
где 
— вектор-столбец. Пусть Р — матрица управляемости системы
и пусть
где 
является характеристическим полиномом матрицы А. Тогда система преобразуется к канонической форме фазовой переменной преобразованием 
Здесь Т — неособая матрица преобразования
где
Если система (1.406) не является полностью управляемой, такого преобразования не существует.
Этот результат может быть доказан следующим образом [3]. Нетрудно установить, что матрица преобразования Т неособая: 
является неособой матрицей из-за допущения о полной управляемости, 
потому что 
Теперь докажем, что преобразует систему к канонической форме фазовой переменной. После умножения Р на М нетрудно видеть, что Т можно записать в виде
где вектор-столбцы 
матрицы Т определяются выражениями
Ил (1.411) получаем
так как 
Теперь дифференциальное уравнение состояния системы запишем с помощью новой переменной:
Рассмотрим матрицу 
Обозначим строки матрицы 
через 
. Тогда при 
элемент матрицы 
определяется выражением
Это доказывает, что последние 
столбцов матрицы 
имеют вид, соответствующий канонической форме фазовой переменной. Чтобы определить первый столбец, из (1.411) найдем
так как, согласно теореме Кэли—Гамильтона, справедливо соотношение
Следовательно, для 
имеем
Подобным же образом можно показать, что имеет требуемую форму; на этом заканчивается доказательство первой части теоремы 1.43. В справедливости последнего утверждения теоремы 1.43 нетрудно убедиться: если система (1.406) не является полностью управляемой, никакое неособое преобразование не может привести систему к канонической форме фазовой переменной, так как неособые преобразования сохраняют свойства управляемости (см. задачу 1.6). Другой метод нахождения канонической формы фазовой переменной рассматривается в работе [145]. Вычислительные аспекты задачи описываются в работах [82, 146, 169]. Для систем со скалярной входной переменной, представленных в канонической форме фазовой переменной, некоторые задачи линейного оптимального управления решаются намного проще, чем в случае, когда система представлена в общей форме (см., например, разд. 3.2). Аналогично некоторые задачи фильтрации, включая восстановление состояния по наблюдениям выходной переменной, более просто решаются, когда система представляется в канонической форме дуальной фазовой переменной.
Определение 1.25. Линейная система с постоянными параметрами и скалярной выходной переменной представляется в канонической форме дуальной фазовой переменной, если, уравнения системы имеют вид
Заметим, что определение не накладывает никаких особых ограничений на матрицу В. Рассматривая теорему 1.43 с позиций дуальности, нетрудно найти преобразование, позволяющее представить полностью восстанавливаемые системы в дуальной канонической форме. Соответствующие канонические формы могут быть получены и для многомерных систем [3, 80, 118, 181].
