3.5. Численное решение уравнения Риккати
3.5.1. ПРЯМОЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В этом разделе будут рассмотрены различные методы численного решения уравнения Риккати, которые имеют исключительно важное значение для задачи синтеза регулятора, а также, как будет видно из гл. 4, для задачи оценки состояния.
Матричное уравнение Риккати определяется выражением
с конечным условием
Прямой метод решения основан на представлении уравнения (3.277) в виде системы
нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка [в предположении, что
— матрица и
] и использовании любого стандартного численного метода интегрирования уравнений в обратном времени, начиная с момента
Наиболее простым методом численного интегрирования является метод Эйлера
по которому вычисляется матрица
в моменты
Если решение сходится к постоянной величине,
как это обычно бывает в случае системы с постоянными параметрами, то необходимо ввести условие остановки. Недостатком этого метода является то, что для обеспечения достаточной точности обычно требуется весьма малая величина
приводящая к большому числу шагов. Кроме того, из-за ошибок вычислений нарушается симметрия матрицы
что можно устранить путем симметрирования после каждого шага, т. е. путем замены
на
Симметрию матрицы
можно использовать, заменяя уравнение (3.277) системой
дифференциальных уравнений первого порядка и получая в результате существенную экономию машинного времени. Более детальный анализ метода прямого интегрирования можно найти в работе [29].
Метод прямого интегрирования применим к системам с переменными и постоянными параметрами. Если требуется найти лишь установившееся решение для задач
переменными параметрами, то более эффективными оказываются методы, рассмотренные в разд. 3.5.3 и 3.5.4.
Наконец, отметим следующее обстоятельство. Чтобы реализовать закон управления с переменной настройкой, необходимо запоминать все значения
при
По-видимому, целесообразно поступать следующим образом. Матрицу
можно вычислить путем интегрирования в ускоренном масштабе времени. Затем уравнение Риккати (3.277) интегрируется в реальном масштабе времени с начальным условием
и определяется матрица усиления обратной связи в реальном времени из соотношения
Этот метод обычно приводит к неудовлетворительным результатам, однако интегрирование уравнения Риккати (3.277) в прямом направлении неустойчиво, что вызывает возрастающие со временем ошибки вычислений [86].