6.2.7. УПРАВЛЯЕМОСТЬ

В разд. 1.6 определено понятие управляемости для непрерывных систем. Это определение распространяется на дискретный случай, если переменная дискретного времени заменяет переменную

непрерывного времени Для управляемости линейных дискретных систем с постоянными параметрами имеем следующий результат, который эквивалентен случаю непрерывных систем.

Теорема 6.6. n-мерная линейная дискретная система с постоянными параметрами и разностным уравнением состояния

полностью управляема тогда и только тогда, когда векторы-столбцы матрицы управляемости

порождают n-мерное пространство.

Доказательство читатель. может найти, например, в работе [92]. Здесь необходим следующий комментарий. Часто полная управляемость определяется как такое свойство, при котором начальное состояние может быть приведено к нулевому состоянию за конечное число шагов (или за конечный интервал времени в непрерывном случае). Согласно этому определению, система с разностный уравнением состояния

является полностью управляемой, хотя из интуитивных соображений очевидно, что она не является управляемой. Вот почему определение управляемости обусловлено положением, что система может быть приведена из нулевого состояния в любое ненулевое состояние за конечное время. В непрерывном случае в противоположность дискретному это различие определений несущественно. Причина заключается в том, что в последнем случае переходная матрица как видно из выражения (6.43), может быть особой из-за того, что одна или несколько матриц являются особыми (см., например, систему из примера 6.4, разд. 6.2.3).

Полная управляемость линейных дискретных систем с переменными параметрами может быть исследована следующим образом.

Теорема 6.7. Линейная дискретная система

полностью управляема тогда и только тогда, когда для каждого существует такой момент времени что симметрическая, неотрицательно определенная матрица

является неособой. Здесь переходная матрица системы. Равномерная управляемость определяется следующим образом.

Определение 6.3. Система с переменными параметрами (6.90) является равномерно полностью управляемой, если существуют целое число к и такие положительные константы что

Здесь — матрица (6.91), а — переходная матрица системы.

Заметим, что это определение несколько отличается от соответствующего определения для непрерывного случая. Это вызвано тем, что в дискретном случае не было дано определения переходной матрицы при поскольку оно связано с матрицами, обратными которые могут не существовать.

Для систем с постоянными параметрами имеем следующую теорему:

Теорема 6.8. Линейная дискретная система с постоянными параметрами

является равномерно полностью управляемой в том и только том случае, если она полностью управляемая.

Для систем с достоянными параметрами полезно использовать понятие подпространства управляемых состояний.

Определение 6.4. Подпространство управляемых состояний линейной дискретной системы с постоянными параметрами

является линейным подпространством, состоящим из состояний, которые могут быть достигнуты из нулевого состояния за конечное число шагов.

Весьма удобной является следующая характеристика подпространства управляемых состояний.

Теорема 6.9. Подпространство управляемых состояний n-мерной линейной дискретной системы с постоянными параметрами

является линейным подпространством, порожденным вектор-столбцами матрицы управляемости Р.

В дискретных системах также можно осуществить декомпозицию на управляемую и неуправляемую части.

Теорема 6.10. Рассмотрим n-мерную линейную дискретную систему

Составим неособую матрицу преобразования где столбцы матрицы образуют базис подпространства управляемых состояний системы, а столбцы матрицы вместе со столбцами матрицы порождают все n-мерное пространство. Определим преобразованную переменную состояния в виде

Такая преобразованная переменная состояния удовлетворяет разностному уравнению состояния

где пара является полностью управляемой.

Здесь термин «пара является полностью управляемой» означает краткую запись выражения «система является полностью управляемой».

Для дискретных систем также может быть введено понятие стабилизируемости.

Определение 6.5. Линейная дискретная система с постоянными параметрами

является стабилизируемой, если подпространство неустойчивых состояний системы содержится в ее подпространстве управляемых состояний.

Стабнлнзируемость может быть исследована следующим образом.

Теорема 6.11. Предположим, что линейная дискретная система с постоянными параметрами

преобразуется, согласно теореме 6.10, к виду (6.100). Тогда система является стабилизируемой в том и только том случае, если все

характеристические числа матрицы имеют модуль, строго меньший чем 1.

Аналогично непрерывному случаю определим характеристические числа матрицы как полюса управляемости системы, а оставшиеся полюса как полюса неуправляемости. Таким образом, система является стабилизируемой тогда и только тогда, когда все ее полюса неуправляемости устойчивы (где устойчивый полюс определяется как характеристическое число системы с модулем, строго меньшим 1).