1.7.5. ВОССТАНАВЛИВАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Восстанавливаемость линейных систем с переменными параметрами можно исследовать следующим образом.

Теорема 1.38. Рассмотрим линейную систему с переменными параметрами

Запишем для нее неотрицательно определенную матричную функцию

где — переходная матрица системы. Система является полностью, восстанавливаемой в том и только том случае, если для всех существует такой момент времени для которого матрица является неособой.

Доказательство читатель может найти в работах [29, 92]. Более сильная форма восстанавливаемости приводит в результате к наложению дополнительных условий на матрицу М [86].

Определение 1.22. Система с переменными параметрами (1.393) является равномерна полностью восстанавливаемой, если существуют такие положительные константы что

где — матричная функция (1.394).

Равномерная восстанавливаемость гарантирует, что идентификация состояния всегда возможна приблизительно в пределах одинакового интервала времени. Для систем с постоянными параметрами справедливо следующее.

Теорема 1.39. Линейная система с постоянными параметрами

является равномерно полностью восстанавливаемой в том и только в том случае, если она является полностью восстанавливаемой.