6.2.8. ВОССТАНАВЛИВАЕМОСТЬ

Определение восстанавливаемости, данное в разд. 1.7, может быть применимо для дискретных систем, если переменная непрерывного времени заменяется переменной дискретного времени. Восстанавливаемость линейной дискретной системы с постоянными параметрами может быть исследована следующим образом.

Теорема 6.12. n-мерная линейная дискретная система с постоянными параметрами

является полностью восстанавливаемой тогда и только тогда, когда вектор-строки матрицы восстанавливаемости

порождают все n-мерное пространство.

Доказательство зтой теорёмы может быть найдено в работе . В общем случае системы с переменными параметрами исследуются следующим образом.

Теорема 6.13. Линейная дискретная система

является полностью восстанавливаемой в том и только том случае, если для каждого существует такой что

симметрическая неотрицательно определенная матрица

является неособой. Здесь — переходная матрица системы. Доказательство этой теоремы имеется в работе [125]. Равномерная полная восстанавливаемость определяется следующим образом.

Определение 6.6. Система с переменными параметрами (6.105) является равномерно полностью восстанавливаемой, если существуют целое и такие положительные константы что

Здесь — матрица (6.106), а — переходная матрица системы.

Здесь вводится матрица, обратная чтобы избежать определения для меньших чем

Для систем с постоянными параметрами имеем следующий результат.

Теорема 6.14. Линейная дискретная система с постоянными параметрами

является равномерно полностью восстанавливаемой в том и только том случае, если она полностью восстанавливаемая.

Для систем с постоянными параметрами введем понятие подпространства невосстанавливаемых состояний.

Определение 6.7. Подпространство невосстанавливаемых состояний n-мерной линейной дискретной системы с постоянными параметрами

является линейным подпространством, состоящим из состояний , для которых

Здесь (6.112) обозначает выходную переменную у при движении системы из начального состояния при

Следующая теорема дает больше информации о пространстве невосстанавливаемых состояний.

Теорема 6.15. Подпространство невосстанавливаемых состояний линейной дискретной системы с постоянными параметрами

является нуль-пространством матрицы восстанавливаемости . Используя понятие подпространства невосстанавливаемых состояний, в линейных дискретных системах также можно осуществить декомпозицию на восстанавливаемую и невосстанавливаемую части.

Теорема 6.16. Рассмотрим линейную дискретную систему с постоянными параметрами

Образуем неособую матрицу преобразования

где строки матрицы составляют базис подпространства, которое порождается строками матрицы восстанавливаемости Q системы. Матрица выбрана таким образом, что ее строки вместе со строками матрицы порождают все n-мерное пространство. Определим преобразованную переменную состояния в виде

Тогда в терминах преобразования переменной состояния система может быть описана следующими разностными уравнениями состояния:

где пара является полностью восстанавливаемой.

Здесь термин «пара является полностью восстанавливаемой»

означает, что система является полностью восстанавливаемой.

Обнаруживаемые дискретные системы определяются следующим образом.

Определение 6.8. Линейная дискретная система с постоянными параметрами

является обнаруживаемой, если ее подпространство невосстанавливаемых состояний находится внутри подпространства устойчивых состояний.

Один из способов исследования обнаруживаемости вытекает из следующего результата.

Теорема 6.17. Рассмотрим линейную дискретную систему с постоянными параметрами

Предположим, что она преобразуется, согласно теореме 6.16, к виду (6.117). Тогда система является обнаруживаемой в том и только том случае, если все характеристические числа матрицы по модулю строго меньше единицы.

Аналогично непрерывному случаю определим характеристические числа матрицы как полюса восстанавливаемости, а характеристические числа матрицы как полюса невосстанавливаемости. Тогда система является обнаруживаемой в том и только том случае, если все ее полюса невосстанавливаемости устойчивы.