1.5.3. НУЛИ МАТРИЧНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим систему со скалярными входной и выходной переменными

где — скалярные соответственно входная и выходная переменные, — вектор-столбец, с — вектор-строка. Матричная передаточная функция этой системы трансформируется в передаточную функцию, которая определяется следующим образом:

Характеристический полином матрицы А имеет вид

Тогда можно записать как

где — полином степени , a - полином степепи, не большей чем если матрица А имеет размерность Корни полинома называются нулями системы (1.194). Заметим, что нули определяются до возможного сокращения общих множителей в полиномах Нули выражения которые остаются после сокращения, называются нулями передаточной функции.

В случае многомерной системы является матрицей, при этом каждый элемент матрицы представляет собой передаточную функцию, которая имеет собственные нули. В данном случае не очевидно, как определяются нули . В конце этого раздела дается определение, которое обосновывается результатами разд. 3.8; при этом рассматриваются только квадратичные матричные передаточные функции.

Сначала изложим следующий результат.

Теорема 1.19. Рассмотрим систему

где состояние х имеет размерность , а входная u и выходная у переменные имеют размерность . Пусть является матричной передаточной функцией системы. Тогда

где

а является, полиномом от степени, не большей чем . Докажем это утверждение, так как оно не является общеизвестным.

Сначала установим следующий факт из теории матриц.

Лемма 1.1. Пусть М и являются матрицами соответственно размерности обозначают соответственно античные матрицы размерности Тогда

б) Предположим, что Тогда

Доказательство положения (а) следует из рассмотрения характеристических чисел матрицы [138, 154]. Справедливость положения (б) нетрудно проверить.

Для доказательства теоремы 1.19 рассмотрим выражение

где — ненулевой произвольный скаляр, который позднее будет устремлен к нулю. Используя часть (а) леммы, получаем

Полиномы от X, находящиеся в правой и левой частях выражения (1.204), равны при всех ненулевых откуда, положив получим

где

и, следовательно, является полиномом от Определим степень этого полинома. При из теоремы 1,18 следует

Таким образом

Отсюда видно, что степень больше, чем степень по крайней мере на поэтому имеет степень, не превышающую . Если то степень точно равна . Этим доказательство теоремы 1.19 заканчивается.

Введем следующее определение.

Определение 1.9. Нулями системы

где состояние х имеет размерность а входная и и выходная у координаты имеют размерность являются нули полинома , где

Здесь — матричная передаточная функция, а — характеристический полином системы.

Таким образом, -мерная система с -мерными входной и выходной переменными имеет самое большее нулей. Заметим что для систем со скалярными входной и выходной переменными определение нулей системы трансформируется в определение, данное в начале этого раздела. В этом случае система имеет больше чем нулей.

Вычисление полинома для системы средней сложности вызывает трудности. Одним из возможных путей преодоления их является запись числителя в виде

где является характеристическим полиномом системы. Коэффициенты могут быть найдеиы иодстановкой соответствующих значений для в правую и решением полученных линейных уравнений. Другой, возможно, болёе практичный подход заключается в использовании полученного из (1.206) соотношения

где

Анализ выражения (1.213) показывает, что можно написать

где являются полиномами от Эти полиномы могут быть вычислены расчетом для различных значений X. Искомый полином в точности соответствует

Проиллюстрируем результаты этого раздела следующим примером.

Пример 1.15. Смесительный бак

Смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3) имеет матричную передаточную функцию

Характеристический полином системы равен

Определитель матричной передаточной функции записывается в виде

Очевидно, что матричная передаточная функция не имеет пулей. Этого следовало ожидать, так как в данном случае следовательно, степень полинома нулевая.