6.5.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ЛИНЕЙНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ

В настоящем разделе обсуждается формулировка задач линейного дискретного восстановления. Этому вопросу уделяется особое внимание, так как существуют определенные отличия от непрерывного случая. Как и ранее, примем концепцию, что рассматриваемая линейная дискретная система получается из линейной непрерывной системы при кусочно-постоянной входной переменной, как показано на рис. 6.20. Моменты времени, в которые изменяется величина входной переменной, обозначаются они называются моментами управления и образуют основную решетку времени. Кроме того, введем моменты наблюдения — такие моменты времени, в которые происходит дискретизация наблюдаемой переменной непрерывной системы Предполагается, что момент наблюдения всегда предшествует моменту управления Разницу назовем запаздыванием при обработке данных, в системе управления за этот отрезок времени требуется на основании процесса наблюдения определить входную переменную

Положим, что непрерывная система описывается уравнением

где — белый шум с переменной интенсивностью Кроме того, предположим, что наблюдаемая переменная определяется соотношением

где шум наблюдений представляет собой последовательность некоррелированных стохастических векторов. С целью получения дискретного описания системы напишем

и

Здесь в обоих уравнениях — переходная матрица системы (6.388). Уравнения (6.390) и (6.391) можно представить в виде

Этот метод постановки дискретного варианта задачи имеет следующие характерные черты.

1. В дискретном варианте задачи восстановления предполагается, что является последним наблюдением, которое может быть обработано для получения восстановленного значения

2. В уравнении выходной переменной, как правило, имеется прямая связь. Как видно из (6.391), прямая связь отсутствует [т. е. ], если запаздывание при обработке данных равно целому интервалу

3. Даже если в непрерывной системе шум возбуждения состояния и шум наблюдений являются некоррелированными, шум возбуждения состояния и шум наблюдений в дискретном варианте задачи будут коррелированными, потому что, как видно из уравнений (6.390) — (6.392), обе функции зависят от при Ясно, что являются некоррелированными, если т. е. если запаздывание при обработке данных равно целому интервалу

Пример 6.21. Цифровая система управления положением

Рассмотрим цифровую систему управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3). Предполагалось, что период дискретности равен А. Предположим теперь, что наблюдаемой переменной является угловое перемещение так что в непрерывном варианте

Далее предположим, что существует запаздывание обработки данных т. е. моменты наблюдения предшествуют на интервал времени моментам управления. Пренебрегая шумами, которые, видимо, присутствуют, и используя уравнение (6.391), нетрудно найти, что уравнение наблюдений имеет вид

где

При значении

получим уравнение наблюдений