1.4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ МОДЕЛИ
Настоящая книга посвящена в основйом синтезу линейных систем управления. Первоочередной задачей при этом является обеспечение устойчивости. В последующих главах разрабатываются эффективные методы построения устойчивых линейных замкнутых систем управления.
Однако, как ранее было показано, реальные системы никогда не бывают линейными, а используемые линейные модели получаются после линеаризации.
Таким образом, целесообразно - разрабатывать лишь те системы, линеаризованные модели которых обладают хорошими свойствами. При этом возникает вопрос: какие из этих свойств сохраняются у функционирующей реальной нелинейной системы? Здесь оказывается полезным следующий результат.
Теорема 1.16. Рассмотрим систему с постоянными параметрами, состояние которой описывается дифференциальным уравнением
Предположим, что система имеет положение равновесия 
, а функция 
имеет частные производные по компонентам х при 
. Предположим, что линеаризованное относительно 
дифференциальное уравнение состояния имеет вид
где постоянная матрица А является якобианом функции 
по отношению к 
. Тогда, если матрица А асимптотически устойчива, 
является асимптотически устойчивом решением уравнения (1.148).
Доказательство читатель может найти в работе [150]. Заметим, что по линеаризованному дифференциальному уравнению состояния нельзя, конечно, сделать заключения об устойчивости.
Приведенная теорема подтверждает сделанный вывод. Положим, что первоначально система является неустойчивой, и линеаризованные уравнения используются для синтеза регулятора, обеспечивающего устойчивость линеаризованной системы. Тогда на основании теоремы следует, что реальная нелинейная система с этим регулятором будет, по крайней мере, асимптотически устойчивой для небольших отклонений от положения равновесия.
Заметим, однако, что теорема справедлива только тогда, когда в системе имеются «гладкие» пелинейности. Если имеются элемент с разрывными характеристиками (зоны нечувствительности, сухое трение), теорему применять нельзя.
В заключение заметим, что, если некоторые из характеристических чисел матрицы А имеют нулевые действительные части, а все другие характеристические числа имеют строго отрицательные части, никаких выводов об устойчивости относительно 
не может быть сделано в результате анализа линеаризованной системы. Если А имеет несколько характеристических чисел с
положительными действительными частями, то 
не является устойчивым в любом смысле [150].
В гл. 2 (разд. 2.4, пример 2.6) приводится пример применения этой теоремы.
