где 
-мерный вектор состояния регулятора. Наблюдаемая переменная у служит в качестве входной переменной регулятора, а входная переменная и в объекте является выходной переменной регулятора. Заметим, что в регуляторе не допускается прямая связь. Причина этого состоит в том, что прямая связь позволяет белому шуму 
проникать непосредственно во входную переменную и, вследствие чего амплитуда входной переменной становится 
бесконечно большой.
Теперь можно сформулировать задачу линейного оптимального управления с обратной связью по выходной переменной для регуляторов пониженной размерности [105].
Определение 5.3. Рассмотрим систему (5.243) с заданными статистическими характеристиками. Тогда задача оптимального управления с обратной связью по выходной переменной для регулятора пониженной размерности состоит в определении для заданного числа 
и заданного конечного момента времени 
матричных функций 
и распределения вероятностей 
таких, чтобы минимизировалось 
где
Здесь 
— заданные матрицы, неотрицательно определенная и положительно определенная соответственно, для всех 
В частном случае, когда 
решение этой задачи следует из теоремы 5.3, которая устанавливает, что 
в (5.244) являются коэффициентами усиления оптимального регулятора и наблюдателя соответственно, и
Легко показать, что 
образует монотонно невозрастающую последовательность чисел, т. е.
поскольку 
-мерный регулятор является частным случаем 
-мерного регулятора. Кроме того, при 
величина 
больше не уменьшается, так как из теоремы 5.3 известно, что оптимальный регулятор (без ограничения его размерности) имеет размерность 
Таким образом, имеем
Один из методов решения задачи, поставленной в определении 5.3, состоит в преобразовании исходной задачи в детерминированную. задачу динамической оптимизации. Это выполняется следующим
образом. Объединим уравнение объекта (5.243) с уравнением регулятора (5.244). Тогда система управления описывается дифференциальным уравнением расширенного состояния
Введем теперь матрицу смешанных моментов второго порядка
Из теоремы 1.52 (разд. 1.11.2) следует, что 
является решением матричного дифференциального уравнения
где
Используя матричную функцию 
можно представить критерий (5.245) в следующей форме:
где 
и 
- диагональные блоки матрицы 
соответственно.
Задача определения оптимального поведения матричных функций 
и распределения вероятностей 
теперь сводится к задаче выбора этих матричных функций и 
таким образом, чтобы минимизировалась величина от, описываемая выражением (5.253), где матричная функция 
определяется из (5.251). При использовании методов динамической оптимизации в этой задаче [162] получаем двухточечную краевую задачу с нелинейными матричными дифференциальными уравнениями. Эта задача может быть весьма громоздкой с точки зрения вычислений.
Чтобы упростить задачу, ограничимся теперь системами с постоянными параметрами и сформулируем установившийся вариант, который бы было легче оценить с количественной стороны и, кроме того, легче реализовать. Предположим, что матрицы 
являются постоянными. Кроме того, ограничимся также выбором регулятора с постоянными параметрами и постоянными матрицами 
Предполагая, что соединение объекта и регулятора асимптотически устойчиво, получим предел
Как и раньше, индекс 
обозначает размерность регулятора. Рассмотрим теперь задачу выбора постоянных матриц 
(заданной размерности 
) таким образом, чтобы достигался минимум 
.
Как и раньше, можно утверждать, что
Минимальная величина, 
которую вообще можно получить, достигается при 
так как из теоремы 5.4 (разд. 5.3.2) известно, что критерий (5.254) минимизируется путем объединения установившегося оптимального наблюдателя с установившимся оптимальным законом управления.
Задачу минимизации критерия (5.254) по 
можно преобразовать в задачу математического программирования следующим образом. Так как по предположению замкнутая система управления асимптотически устойчива, т. е. постоянная матрица М имеет все характеристические числа только в левой половине комплексной плоскости, то при 
матрица дисперсий 
расширенного состояния достигает постоянной установившейся величины 
которая является единственным решением линейного матричного уравнения
Кроме того, от можно выразить в виде
где 
- диагональные блоки матрицы 
соответственно.
Таким образом, решение установившегося варианта задачи линейного оптимального управления с обратной связью и постоянными параметрами для регуляторов пониженной размерности сводится к определению постоянных матриц 
указанной выше размерности, которые минимизируют соотношение
и удовлетворяют ограничениям
Здесь 
обозначают характеристические числа матрицы 
— вещественную часть.
Заметим, что задача определения переменных во времени матриц 
которые минимизируют критерий 
всегда имеет решение, если матрица 
является непрерывной, а все другие матрицы, встречающиеся в постановке задачи, кусочно-непрерывны. Установившийся вариант задачи, т. е. минимизация от относительно постоянных матриц 
и 
имеет решение, если для заданной размерности регулятора 
существуют такие матрицы 
и 
что сложная матрица М будет асимптотически устойчивой. При 
необходимые и достаточные условия существования матриц 
(делающих матрицу М асимптотически устойчивой), налагаемые на матрицы Л, В, С, состоят в том, что пара 
должна быть стабилизируемой, а 
— обнаруживаемой (разд. 5.2.2). Для случая 
такие условия не существуют, хотя известно, что наименьшая размерность регулятора должна быть такой, чтобы все полюса замкнутой системы можно было распределить произвольно (см., например, [23]).
Некоторые правила вычисления матриц 
будут даны ниже. Завершим же этот раздел замечанием о выборе соответствующей размерности регулятора. Предположим, что для заданных матриц 
решена задача оптимизации при 
и что 
вычислены. Тогда можно было бы сравнить величины 
и выбрать наиболее рациональную величину 
при которой достигается достаточно малое значение 
Однако такой подход, по-видимому, нецелесообразен, так как для всех систем средние значения квадратов входной переменной различны. Максимально допустимое среднее значение квадрата входной переменной является заданной величиной, которая не связана со сложностью выбранного регулятора. Поэтому рационально проводить сравнение, когда для каждой величины 
весовая матрица 
выбирается таким образом, что получается максимально допустимое среднее значение квадрата входной переменной. Этого можно достигнуть, если положить
где 
— положительный скаляр, 
— положительно определенная весовая матрица, которая характеризует относительную важность компонент входной переменной. Сформулируем теперь
поставленную задачу следующим образом. Для заданных 
необходимо минимизировать критерий
относительно постоянных матриц 
с учетом ограничений (5.259), гдерт выбрано так, что след матрицы
равен максимально допустимому среднему значению квадрата входной переменной.
— 
-мерный 
-мерная входная переменная, 
мерная наблюдаемая переменная, 
— 
имеет интенсивность 
. В дальнейшем полагается, что начальное состояние 
является случайным вектором, который не коррелирован с в 
имеет 
и матрицу 
