1.3. Решение дифференциальных уравнений состояния линейных систем

1.3.1. ПЕРЕХОДНАЯ МАТРИЦА И МАТРИЧНАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ

Ниже рассматривается решение линейного дифференциального уравнения состояния

Для этого необходимо изложить несколько теорем [50, 190].

Теорема 1.1. Рассмотрим однородное уравнение

Если в этом уравнении является постоянной величиной для всех то оно всегда имеет решение

Переходная матрица является решением матричного дифференциального уравнения

где I — единичная матрица.

Для системы с переменпыми параметрами общего вида эта матрица редко может быть выражена элементарными функциями, ввязи с чем приходится использовать методы численного интегрирования. Для систем с постоянными параметрами низкой размерности или простой структуры переходная матрица может быть вычислена одним из методов, рассматриваемых в разд. 1.3.2, 1.3.3 и 1.5.1. Для более сложных систем с постоянными параметрами следует применять численные методы, описанные, например, в разд. 1.3.2.

Можно показать, что переходная матрица обладает следующими свойствами [190].

Теорема 1.2. Переходная матрица линейной дифференциальной системы уравнений имеет следующие свойства:

где верхний индекс обозначает транспонирование.

Свойство означает, что система имеет переходную матрицу Доказательство следует из дифференцирования тождества

Если переходная матрица найдена, то решения дифференциального уравнения состояния (1.52) могут быть легко получены. Теорема 1.3. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение состояния

Тогда, если — непрерывная функция, — кусочно-непрерывные функции для всех решение уравнения (1.60) имеет вид

Этот результат легко проверить непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение состояния [190].

Рассмотрим теперь систему с дифференциальным уравнением состояния (1.60) и уравнением выходной переменной

Для выходной переменной имеем

Если система имеет нулевое начальное состояние, т. е. , то реакция выходной переменной записывается в фораде

где

Матрица называется матричной импульсной переоюдной функцией, потому что элемент матрицы является реакцией в момент времени компоненты выходной переменной на импульс, приложенный к компоненте входной переменной в момент времени тогда как другие компоненты вектора входной переменной нулевые и начальное состояние также нулевое. Матричная переходная функция определяется следующим образом:

Здесь элемент матричной переходной функции является реакцией в момент времени компоненты выходной переменной,

когда компонента входной переменной является ступенчатой функцией, приложенной в момент времени а все другие-компоненты вектора входной переменной равны нулю и начальное состояние также нулевое.