4.3.3. НЕВЫРОЖДЕННАЯ ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ПРИ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ШУМЕ, ВОЗБУЖДАЮЩЕМ СОСТОЯНИЕ, И ШУМЕ НАБЛЮДЕНИЙ
Ниже результаты, полученные в предыдущем разделе, распространяются на случай, когда шум, возбуждающий состояние, и шум измерений являются коррелированными, т. е. 
Чтобы построить оптимальный наблюдатель, поступим так же, как и в случае коррелированного шума. Пусть снова 
матрица дисперсий ошибок восстановления, когда наблюдатель реализуется при произвольной матрице коэффициентов усиления 
Используя теорему 1.52 (разд. 1.11.2), получим
следующее дифференциальное уравнение для матрицы 
которое является расширенным вариантом уравнения (4.89):
с начальным условием
Чтобы преобразовать задачу определения оптимальной матрицы коэффициентов усиления в известную задачу, введем в 
дифференциальное уравнение - обратное время. Тогда оказывается, что данная задача является дуальной Но отношению к расширенной задаче регулирования 3.11.7, в которой интегральный критерий содержит смешанный член состояния х с входной переменной и. Используя результаты, полученные в задаче 3.11.7, можно легко показать, что решение данной задачи получается следующим образом (см., например, [182]).
Теорема 4.6. Рассмотрим задачу оптимального наблюдения, сформулированную в определении 4.3 (разд. 4.3.1). Предположим, что. эта, задача является несингулярной, т. е. 
Тогда решение задачи оптимального наблюдения достигается путем выбора следующей матрицы коэффициентов усиления 
для наблюдателя (4.73):
где 
— решение матричного уравнения Риккати
с начальным условием
Начальное условие для наблюдателя имеет вид
Выбором матриц (4.145), (4.148) минимизируется среднее значение квадрата ошибки восстановления
при всех 
Матрица дисперсий ошибок восстановления определяется выражением
Следовательно,
