6.6.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ С НЕПОЛНЫМИ И ИСКАЖЕННЫМИ ШУМОМ ИЗМЕРЕНИЯМИ

Начнем этот раздел с определения основной задачи.

Определение 6.20. Рассмотрим линейную дискретную систему

где — стохастический вектор со средним значением и матрицей дисперсий Наблюдаемая переменная системы имеет вид

Переменные образуют последовательность некоррелированных стохастических векторов, некоррелированных с с нулевыми средними значениями и матрицами дисперсий

Управляемая переменная может быть выражена в виде

Тогда задача построения стохастического линейного дискретного оптимального регулятора с обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения такого функционала

который бы минимизировал критерий

Как и в непрерывном случае, решение этой задачи удовлетворяет принципу разделения [6, 68, 103].

Теорема 6.47. Решение задачи построения стохастического линейного дискретного оптимального регулятора с обратной связью по выходной переменной заключается в следующем. Оптимальная выходная переменная описывается соотношением

где последовательность матриц коэффициентов для детерминированного оптимального регулятора, определяемая в теореме 6.28 (разд. 6.4.3). Далее, является линейной оценкой состояния с минимальным средним значением квадрата ошибки, полученной по данным оценка для неособого случая [т.е. ] может быть получена как выходная переменная оптимального наблюдателя, описанного в теореме 6.42 (разд. 6.5.4).

Теорема 6.47 может быть доказана аналогично непрерывному эквиваленту.

Рассмотрим теперь вычисление критерия (6.470), где ограничимся неособым случаем. Замкнутая система управления описывается соотношениями

В терминах ошибки восстановления

и состояния наблюдателя систему (6.472) можно переписать в виде

с начальным условием

Определяя матрицу дисперсий векторного процесса в виде

и применяя теорему 6.22 (разд. 6.2.12), нетрудно найти, что матрицы удовлетворяют разностным уравнениям, из которых приведем только уравнение матрицы

при начальном условии

Теперь очевидно, что где является матрицей дисперсий ошибки восстановления. Кроме того, составляя разностное уравнение для можно доказать, что Это означает аналогично непрерывному случаю, что величины являются некоррелированными при . В результате может быть найдено из разностного уравнения

Если матрица дисперсий векторного процесса известна, то средние значения квадратов и среднеквадратические значения всех интересующих величин могут быть вычислены. В частности, рассмотрим критерий (6.470). В терминах матрицы дисперсий векторного процесса запишем критерий

где

а определяется в (6.248). Рассмотрим отдельно члены

где использовалось условие Теперь на основании результата задачи 6.8.7 выражение (6.482) можно переписать в виде

где Р удовлетворяет матричному разностному уравнению

Нетрудно установить, что .

С использованием этого равенства подстановка (6.483) в (6.480) приводит к следующему выражению для критерия:

С помощью соответствующих преобразований нетрудно найти, что критерий можно выразить и в иной форме:

Теперь можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 6.48. Рассмотрим задачу построения стохастического регулятора с обратной связью по выходной переменной, представленную в определении 6.20. Предположим, что для всех . Тогда можно сделать следующие выводы.

а) Минимальное значение критерия (6.470) может быть выражено в альтернативных формах (6.485) и (6.486).

б) В случае постоянных параметров, в котором задачи оптимального наблюдения и регулирования имеют установившиеся решения при характеризуемые матрицами Q и Р с соответствующими матрицами установившихся коэффициентов К и справедливо следующее.

в) Средние значения квадратов интересующих величин могут быть получены из матрицы дисперсий процесса Здесь матрица дисперсий

процесса может быть получено как решение матричного разностного уравнения

Доказательство части (б) настоящей теоремы выполняется с использованием части (а).

Общая задача стохастического регулирования может быть подразделена на задачи слежения, задачи регулирования систем при наличии возмущений и задачи слежения при наличии возмущений точно так же, как в непрерывном случае.