1.10.2. МАТРИЦЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ ЭНЕРГИИ

Для скалярных стохастических процессов, стационарных в широком смысле, функция спектральной плотности энергии определяется как преобразование Фурье ковариационной функции. Подобным же образом введем определение для векторных стохастических процессов.

Определение 1.29. Матрица спектральных плотностей энергии векторного стохастического процесса, стационарного в широком смыслеопределяется как преобразование Фурье (если оно существует) ковариационной матрицы процесса, т. е.

Отметим, что в записи ковариационной матрицы переменные и заменены одной переменной

Матрица спектральных плотностей энергии имеет следующие свойства.

Теорема 1.46. Предположим, что является матрицей спектральных плотностей стационарного процесса стационарного в широком смысле. Тогда — комплексная матрица, которая имеет следующие свойства:

Здесь звездочка обозначает комплексно-сопряженное транспонирование, тогда как где М — комплексная матрица, означает, что М является неотрицательно определенной матрицей, т. е. для всех комплексных х.

Доказательство утверждений (а) и (б) следует непосредственно из определений и теоремы 1.44. Чтобы доказать утверждение надо распространить на векторный случай доказательство Давенпорта и Рута [43, гл. 6]. Смысл термина «матричная спектральная плотность энергии» станет ясным в разд. 1.10.4.

Пример 1.30. Экспоненциально коррелированный шум

В примере 1.28 рассматривался экспоненциально коррелированный шум — скалярный стационарный процесс стационарный в широком смысле, с ковариационной функцией

Используя преобразование Фурье, найдем, что функция спектральной плотности энергии имеет вид

при условии