5.3.2. ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Продолжим анализ характеристик оптимальных систем управления с обратной связью по выходной переменной, все еще ограничиваясь несингулярным случаем с некоррелированными шумом, возбуждающим состоянием, и шумом наблюдений. Объединение системы (5.43), оптимального наблюдателя (5.53) и закона управления (5.50) образует систему размерности , где — размерность состояния х. Определим, как и раньше, ошибку восстановления

Легко найти из уравнений (5.43), (5.50) и (5.53), что расширенный вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием

Причина, но которой рассматривается состоит в том, что, как ото будет показано, матрицу дисперсий для этого расширенного вектора относительно легко определить. Из этой матрицы дисперсий затем можно определить все интересующие средние значения квадратов величин. Обозначим матрицу дисперсий через

Дифференциальные уравнения для матриц можно получить, используя теорему 1.52 (разд. 1.11.2). Нетрудно установить, что матрицы удовлетворяют уравнениям

с начальными условиями

Рассматривая эти уравнения, легко заметить, что

Таким образом, в дифференциальном уравнении для матрицы члены уничтожаются, так как Оставшаяся часть уравнения для является однородным дифференциальным уравнением с начальным условием которое имеет решение

Очевидно, являются некоррелированными стохастическими процессами. Вот почему используется совместный процесс Отметим, что процессы некоррелированы независимо от того, как выбрано входное воздействие в объекте. Это объясняется тем, что поведение ошибки восстановления не зависит от входного воздействия, а влияние входной переменной на восстановленйое состояние характеризуется известной величиной, которая вычитается с целью вычисления ковариации процессов Используем этот факт при доказательстве принципа разделения в разд. 5.3.3.

Дифференциальное уравнение для матрицы теперь сводится к виду

с начальным условием

После того как матрица вычислена, становится известной

матрица дисперсий совместпого процесса , и можно получить все интересующие пас средние или интегральные средние значения квадратов величин, так как

Таким образом, можно вычислить среднее значение квадрата ошибки регулирования

где — весовая матрица, — среднее значение Аналогично можно вычислить среднее значение квадрата входной переменной:

где — весовая матрица для среднего значения квадрата входной переменной.

Из этого следует, что для вычисления оптимальной матрицы коэффициентов усиления оптимального регулятора, матрицы коэффициентов усиления оптимального фильтра, среднего значения квадрата ошибки регулирования и среднего значения квадрата величины входной переменной необходимо решить три -матричных дифференциальных уравнения: уравнение Риккати (5.52), чтобы получить матрицу и затем уравнение Риккати (5.55), чтобы определить матрицу и затем наконец, линейное матричное дифференциальное уравнение (5.64), чтобы получить матрицу дисперсии для . В следующей теореме, однако, устанавливается, что если среднее значение квадрата ошибки регулирования и среднее значение квадрата входной переменной можно не разделять, а требуется лишь минимизировать величину критерия заданного выражением (5.48), то необходимо решить только основные уравнения Риккати для матриц

Теорема 5.4. Рассмотрим стохастическую задачу регулирования в соответствии с определением 5.1. Предположим, что

Тогда справедливо следующее:

а) Все интересующие нас средние значения квадратов величин можно определить из матрицы дисперсий для где — матрица дисперсий а матрицу можно получить как решение матричного дифференциального уравнения

б) Минимальную величину критерия (5.48) можно выразить в следующих возможных формах:

и

Здесь

— решения уравнений Риккати (5.52) и (5.55) соответственно.

в) Кроме того, если уравнения Риккати для оптимального наблюдателя и регулятора имеют установившиеся решения при соответственно, то осредненный по времени критерий

если он существует, может бить выражен в альтернативных формах

Здесь коэффициенты, соответствующие установившимся решениям

г) Наконец, в случае постоянных параметров, где , таким образом, также являются постоянными матрицами, справедливы следующие выражения:

Эту теорему можно доказать следующим образом. Полагая в выражениях (5.67) и (5.68), запишем критерий (5.48) в виде

Рассмотрим отдельно выражение

где, как известно, является решением матричного дифференциального уравнения

Нетрудно показать (задача 5.5), что выражение (5.79) можно записать в форме

где — решение матричного дифференциального уравнения

Очевидно, что решением этого дифференциального уравнения является

Объединяя эти результаты и учитывая, что первые два члена правой части выражения (5.78) можно заменить на получим из (5.78) выражение (5.71).

Выражение (5.72) для критерия можно получить, подставляя выражение

в (5.71) и интегрируя по частям. Доказательства частей (в) и теоремы 5.4 следуют из выражепий (5.71) и (5.72), если положить

Конечно, в любой практической ситуации, когда интервал велик, следует использовать установившиеся матрицы коэффициентов усиления даже если интервал не является бесконечным. В частности, так поступают в случае системы с постоянными параметрами, когда матрицы К и постоянны. Из теории оптимального регулирования и наблюдения с учетом результатов разд. 5.2 известно, что установившаяся система управления с обратной связью по выходной переменной асимптотически устойчива всегда, когда соответствующие регулятор с обратной связью по состоянию и наблюдатель асимптотически устойчивы.

Перед тем как завершить этот раздел примером, сделаем два замечания. Во-первых, заметим, что в установившемся случае с постоянными параметрами выражения (5.77а), (5.776) имеют следующие нижние границы:

Эти неравенства можно интерпретировать следующим образом. Даже если совсем не взвешивать входную переменную и и, таким образом, не ограничивать ее амплитуду, то критерий

все равно не может быть меньше, чем в соответствии с выражением (5.85а). Эта минимальная составляющая критерия обусловлена неизбежной неточностью восстановления состояния. Аналогично, даже когда отсутствует шум измерений, т. е. приближается к нулю, критерий а не может быть меньше, чем Такой результат не удивителен, так как эта величина точно является величиной критерия для стохастического регулятора с обратной связью по состоянию (см. теорему 3.9, разд. 3.6.3).

Второе замечание касается размещения полюсов системы управления в установившемся случае с постоянными параметрами. Из разд. 5.2 следует, что полюса системы управления состоят из полюсов регулятора и полюсов наблюдателя. Хороший практический подход, по-видимому, заключается в том, что весовые матрицы пеобходимо выбирать таким образом, чтобы полюса регулятора и полюса наблюдателя находились на расстоянии от начала координат приблизительно одного порядка. По-видимому, неэкономично иметь регулирование с очень высоким быстродействием, когда процесс восстановления является медленным, и наоборот. В частности, когда шум наблюдений значительно больше шума, возбуждающего состояние, полюса наблюдателя относительно близки к началу координат и процесс восстановления является медленным. Если теперь сделать быстродействие регулятора несколько большим, чем у наблюдателя, то следует ожидать, что регулятор будет сдерживаться наблюдателем. Дальнейшее увеличение быстродействия регулятора будет лишь увеличивать среднее значение квадрата входной переменной без уменьшения среднего значения квадрата ошибки регулирования. С другой стороны, когда шум наблюдений весьма мал, ограничивающим фактором в системе становится допустимое среднее значение квадрата входной переменной. Тем самым ограничивается быстродействие регулятора и становится нецелесообразным выбор наблюдателя с очень большим быстродействием, даже если характеристики шума допускают это.

Пример 5.3. Система управления положением

Рассмотрим систему управления положением, описанную во многих предыдущих примерах. Дифференциальное уравнение состояния имеет вид

Здесь — угловое положение, угловая скорость сиетемы. Входной переменной является входное напряжение.

Управляемой переменной является положение, описываемое уравнением

В примере 3.8 (разд. 3.4.1). решена детерминированная задача построения регулятора с критерием

При численных значениях

найдем установившуюся матрицу коэффициентов усиления обратной связи

Установившееся решение уравнения Риккати для регулятора определяется выражением

Полюса замкнутого регулятора равны Из рис. 3.9 (разд. 3.4.1) следует, что время переходного процесса системы составляет , тогда как начальное Отклонение по положению 0,1 рад вызывает входное напряжение с пиковым значением 25 В.

В примере 4.4 (разд. 4.3.2) предполагалось, что система возмущается внешним моментом на валу Тогда дифференциальное уравнение состояния преобразуется к виду

где — момент инерции вращающихся частей. Кроме того, предполагается, что наблюдаемая переменная описывается выражением

где — шум наблюдений. В этом выражении полагается, что угловое перемещение доступно измерению. Считая, что

и адекватно представляются в виде некоррелированных белых шумов с интенсивностями

и

соответственно, находим для примера 4.4, что при установившийся оптимальный наблюдатель описывается уравнением

где установившаяся матрица коэффициентов усиления равна

Полюса наблюдателя равны а установившаяся матрица дисперсий имеет вид

При

установившийся оптимальный регулятор с обратной связью по выходной переменной описывается уравнениями

Из этого следует

Теперь можно найти границы для среднеквадратической ошибки слежения и среднеквадратической величины входного напряжения

так что

Точные значения установившихся среднеквадратической ошибки слежения и среднеквадратического входного напряжения необходимо получить путем определения установившейся матрицы дисперсий расширенного вектора состояния Как подчеркивалось выше в настоящем разделе, это более эффективно достигается путем предварительного вычисления установившейся матрицы дисперсий для для чего требуется только решить дополнительные линейные матричные уравнения. Можно найти, что установившаяся матрица дисперсий П для определяется выражением

Тогда установившееся значение среднего квадрата ошибки слежения равно

и среднеквадратическая ошибка равна рад. Видно, что это несколько меньше, чем граничное значение (5.102а). Аналогично получим для среднего значения квадрата входного напряжения

а среднеквадратическая величина входного напряжения составит — 1,5 В. Конечно, это зависит от того, будут ли приемлемы эти параметры.

Заметим, что полюса регулятора и полюса наблюдателя имеют один порядок, что благоприятно. Если, например, полюса наблюдателя сильно удалены от полюсов регулятора, то можно приблизить полюса наблюдателя к началу координат без существенного ухудшения характеристик.