4.3.4. СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Этот раздел посвящен построению оптимального наблюдателя для сингулярного случая, т. е. для случая когда матрица не является положительно определенной. Чтобы избежать трудностей, связанных с тем, что матрица является положительно определенной в течение некоторых периодов времени и сингулярной в течение других периодов, ограничимся в зтом разделе случаем построения наблюдателя с постоянными параметрами, когда все матрицы в определении 4.3 (разд. 4.3.1) постоянны. Сингулярные задачи наблюдения возникают, когда некоторые из компонент наблюдаемой переменной свободны от шума наблюдений, а также когда шум наблюдений не является белым шумом, как будет видно из следующего раздела. Настоящий вывод наблюдателя приближенно следует результатам работы [25].

Во-первых, отметим, что когда матрица является сингулярной, процедура построения из разд. 4.3.2 оказывается неприменимой, так как анализ показывает, что необходима бесконечно большая матрица коэффициентов усиления для наблюдателя полного порядка, как и предполагалось. Таким образом, постановка задачи, данная в определении 4.3, является неадекватной для сингулярного случая. В этом разделе сингулярная задача сводится к несингулярной задаче (меньшего порядка), а затем используются результаты разд. 4.3.2 или 4.3.3.

Поскольку матрица сингулярна, всегда можно ввести другой белый шум с несингулярной интенсивностью такой, что

где и матрица Н имеет полный ранг. Это означает, что наблюдаемая переменная описывается, выражением

При этом предположении интенсивность шума определяется соотношением

Так как матрица сингулярна, то можно разбить наблюдаемую первменную на две части: «полностью зашумленную» часть и часть, свободную от шума. Покажем, каким образом можно выполнить это разбиение.

Поскольку всегда, можно найти несингулярную матрицу Т размером (здесь — размерность наблюдаемой переменной ), разделяемую следующим образом:

так что

Матрица является квадратной и несингулярной, и разбиение матрицы Т осуществлялось соответственно правой части выражения (4.156). Умножая уравнение для выходной переменной

на Т, получим

где

Видно, что уравнения (4.158) описывают разделение наблюдаемой переменной на «полностью зашумленную» часть (так как матрица несингулярна) и свободную от шума часть

Предположим, теперь, что матрица имеет полный ранг. Если это не так, то можно определить исключая все компоненты, которые являются линейными комбинациями других компонент, чтобы заново определенная матрица имела полный ранг. Обозначим размерность через к.

Уравнение (4.1586) будет использоваться двояко. Во-первых, приходим к заключению, что, поскольку дает к линейных уравнений необходимо восстановить только (где — размерность дополнительных линейных комбинаций Во-вторых, так как не содержит белого шума, его можно дифференцировать для того, чтобы извлечь дополнительную информацию. Таким образом определим, как и в разд. 4.2.3, -мерную

векторную переменную

где выбирается таким образом что -матрица

является несингулярной. Из можно точно восстановить по соотношениям

т. е.

Удобно ввести обозначение

таким образом, чтобы

Следующим шагом является построение наблюдателя для

Восстановленную переменную обозначим через Из выражения (4.165) следует, что восстановленное состояние определяется в виде

Дифференциальное уравнение состояния для получается путем дифференцирования соотношения (4.160). Из (4.165) следует

или

где

Заметим, что в этом уравнении являются вынуждающими

переменными. Для располагаемых наблюдений находим

Напишем для

Объединяя напишем для наблюдаемой переменной системы (4.168)

где

Заметим, что в дифференциальном уравнении состояния (4.168) и в уравнении для выходной переменной рассматриваются как заданные величины. Чтобы сделать постановку задачи полной, необходимо вычислить априорные статистические данные о вспомогательной переменной

и

В задаче 4.6.4 показывается, каким образом можно найти эти величины.

Задача наблюдения, которая теперь изучена и определена соотношениями (4.168), (4.172), (4.174) и (4.175), является задачей наблюдений с коррелированными шумом, возбуждающим состояние, и шумом наблюдений. Эта задача может быть сингулярной или несингулярной. Если задача является несингулярной, то ее можно решить в соответствии с разд. 4.3.3; так как имеется, можно использовать выражение (4.166) для восстановления состояния. Если задача наблюдений все еще остается сингулярной, то повторяем всю процедуру путем выбора новой матрицы преобразования Т для соотношения (4.172). Этот процесс сводит задачу к одному из двух вариантов:

а) получается несингулярная задача наблюдения;

б) поскольку размерность величины, которую необходимо оценивать, снижается на каждом шаге, постепенно можно достичь стадии, на которой матрица в соотношениях (4.162) становится квадратной и несингулярной. Это означает, что соотношение можно решить относительно непосредственно и динамический наблюдатель не требуется.

Отметим в заключение этого раздела, что если выражения (4.168) и (4.172) описывают несингулярную задачу наблюдения, то при практической реализации оптимального наблюдателя не требуется находить производную так как затем эта производная интегрируется наблюдателем. Чтобы показать это, рассмотрим следующий наблюдатель для переменной

Разделяя матрицу

получим из (4.176)

Определяя теперь

можно получить дифференциальное уравнение состояния для с входными переменными без Таким образом, с помощью (4.179) можно найти не используя