1.5. Анализ систем с постоянными параметрами на основе преобразования Лапласа

1.5.1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Часто весьма удобно исследовать линейные системы с постоянными параметрами с помощью преобразования Лапласа. Определим преобразование Лапласа вектор-функции следующим образом:

где — комплексная переменная. Символ обозначает операцию преобразования Лапласа функции, стоящей в квадратных скобках. Преобразование Лапласа определяется для тех значений при которых интеграл (1.150) сходится. Очевидно, что преобразование Лапласа вектор-функции является вектором, компоненты которого являются преобразованиями Лапласа компонент вектора .

Рассмотрим сначала однородное дифференциальное уравнение состояния

где А — постоянная матрица. Выполняя преобразование Лапласа, получим

гак как все обычные теоремы преобразования Лапласа для скалярных выражений справедливы и в векторном случае [139]. Решение относительно имеет вид

Во временной области этому соответствует выражение

Таким образом, имеем следующий результат.

Теорема 1.17. Пусть А является постоянной матрицей Тогда или, что эквивалентно,

Преобразование Лапласа матричной функции выполняется посредством преобразования каждого ее элемента. Теорема 1.17 особенно удобна для получения точного выражения переходной матрицы, если величина не является слишком большой, независимо от того, является ли матрица А диагонализируемой.

Матричная функция называется резольвентой матрицы А. В связи с этим имеет место следующий результат [13, 190].

Теорема 1.18. Рассмотрим постоянную матрицу А размерности с характеристическим полиномом

Тогда резольвента матрицы А может быть записана в виде

где матрицы определ яются как

а . Коэффициенты и матрицы могут быть определены с помощью следующего алгоритма.

Пусть

Тогда

для При имеем

Здесь используется обозначение

если М — матрица размерности с диагональными элементами . Алгоритм теоремы следует из алгоритма Леверъе [13]. Он также известен как метод Сурьё, или метод Фадеевой [190]. Условие можно использовать для проверки. Алгоритм очень удобно реализовать на ЦВМ. Однако следует отметить, что алгоритм довольно чувствителен к ошибкам округления [61], поэтому обычно при вычислениях требуется двукратная точность. Мелса [127] приводит вычислительную программу по этому алгоритму на ФОРТРАНе.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

где А и В — постоянные матрицы. Выполняя преобразование Лапласа, получим

откуда найдем

Пусть уравнение относительно выходной координаты системы имеет вид

где С — постоянная матрица. Выполняя преобразование Лапласа и подставляя (1.165), получим

что эквивалентно преобразованию Лапласа выражения (1.70) при

При выражение (1.167) принимает вид

где

Матрица называется матричной передаточной функцией системы. Если известны, реакция системы при нулевом начальном состоянии может быть найдена посредством обратного преобразования Лапласа выражения (1.169).

На основании теоремы 1.17 из уравнения (1.170) следует, что матричная передаточная функция является преобразованием Лапласа матричной функции Из (1.168) очевидно, что является матричной импульсной переходной функцией системы.

Принимая во внимание теорему 1.18, матричную передаточную функцию можно представить в форме

где — матрица, элементы которой являются полиномами от Следовательно, элементы матричной передаточной функции является рациональными функциями Общим знаменателем элементов является выражение если не происходит сокращения множителей видав — где характеристическое число матрицы А во всех элементах матрицы

Корни общего знаменателя называются полюсами матричной передаточной функции . Если сокращения не происходит, полюса матричной передаточной функции являются полюсами системы, т. е. характеристическими числами матрицы А.

Если как входная так и выходная переменные являются скалярными, то матричная передаточная функция переходит в скалярную передаточную функцию. Для многомерных систем каждый элемент матричной передаточной функции является передаточной функцией от компоненты входа к компоненте выхода.

Пример 1.12. Недиагонализируемая система

Рассмотрим систему

Нетрудно проверить, что эта система имеет двукратное характеристическое число 0, но единственный собственный вектор; поэтому она не является диагонализируемой.

С помощью преобразования Лапласа вычислим матричную передаточную функцию. Резольвента системы может быть найдена следующим образом:

Обратное преобразование Лапласа дает

Заметив, что эта система не является устойчивой в смысле Ляпунова.

Пример 1.13. Смесительный бак

Смесительный бак из примера 1.2 описывается линеаризованным уравнением состояния

а уравнение выходной переменной имеет вид

Резольвента матрицы А определяется выражением

Система имеет матричную передаточную функцию

Матричная импульсная переходная функция (1.75) системы определяется посредством, обратного преобразования Лапласа (1.178).