1.5.2. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
В данном разделе рассматривается частотная характеристика системы с постоянными параметрами и определяется реакция системы на входной сигнал вида
где 
постоянный вектор. Представим решение дифференциального 
уравнения состояния
как сумму решения однородного уравнения и частного решения. Сначала найдем частное решение в форме
где 
постоянный вектор, который следует определить. Нетрудно найти, что частное решение описывается выражением
Общее решение однородного уравнения 
может быть представлено в виде
где а — произвольный постоянный вектор. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1.180) имеет вид
Постоянный вектор а может быть определен из начальных условий. Если система, описываемая уравнением (1.180), является асимптотически устойчивой, то первый член решения при возрастании t затухает, а второй член характеризует установившееся состояние при входном воздействии (1.179). Соответствующее установившееся значение выходной переменной
определяется выражением
Заметим, что в это выражение входит матричная передаточная функция 
где 
заменяет 
называется матричной частотной характеристикой системы.
Получив реакцию системы на комплексный периодический сигнал вида (1.179), нетрудно определить установившуюся реакцию при действительном синусоидальном входном сигнале.
Предположим, что 
компонента 
вектора входной переменной 
имеет вид
Предположим, что все другие компоненты вектора 
равны нулю. Тогда установившееся значение 
компоненты 
вектора выходной переменной 
описывается выражением
где 
является 
элементом матрицы 
Скалярные частотные характеристики удобно представлять методом асимптотических логарифмических характеристик [49]. В работе [1271 приводится ФОРТРАН-программа для построения амплитуды и фазы скалярной частотной характеристики.
В заключение отметим, что установившееся значение выходной переменной асимптотически, устойчивой системы с матричной частотной характеристикой 
при постоянном входном сигнале
определяется как
Пример 1.14. Смесительный бак
Смесительный бак из примера 1.2 имеет матричную передаточную функцию (пример 1.13)
Эта система асимптотически устойчива, в связи с чем имеет смысл матричная частотная характеристика. При числовых значениях из примера 1.2 получим
