1.10.4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Часто целесообразно использовать среднее значение квадрата стохастического процесса. Для векторных стохастических процессов введем квадратичную форму
где 
— симметрическая весовая матрица. Если 
имеет элементы 
, то выражение (1.467) может быть записано в виде,
что является математическим ожиданием квадратичной формы относительно компонент 
вектора 
Матрица 
выбирается неотрицательно определенной, так что выражение принимает только неотрицательные значения.
Квадратичные формы данного типа используются при записи выражений, содержащих ковариационную матрицу и матрицу спектральных плотностей процесса 
. В связи с этим имеем следующий результат. 
Теорема 1.50, Пусть 
— векторный стохастический процесс. Тогда, если 
— симметрическая матрица, то
где 
— матрица смешанных моментов второго порядка процесса 
Если 
— стационарный в широком смысле процесс с нулевым средним и ковариационной матрицей 
— постоянная матрица, то
Если 
имеет нулевое среднее и матрицу спектральных плотностей то
где
Кроме того,
Запись 
означает след матрицы А, т. е.
где 
являются диагоиальпыми элементами матрицы. Проверим справедливость первого утверждения теоремы:
где 
является 
элементом матрицы 
Второй результат (1.470) следует при допущениях, устанавливающих 
Третий результат может быть доказан с учетом того факта, что матрица спектральных плотностей 
является преобразованием Фурье функции 
, следовательно, 
является обратным преобразованием 
При 
получаем (1.471) и (1.473).
Равенство (1.471) позволяет интерпретировать термин «матрица спектральных плотностей энергии». Очевидно, «общая энергия» 
стационарного в широком смысле процесса 
с нулевым средним получается при интегрировании 
по всем частотам. Таким образом, выражение 
может быть рассмотрено как мера «плотности» энергии на частоте 
. Весовая матрица 
определяет долю участия каждой компоненты процесса 
Пример 1.32. Смесительный бак
Продолжим пример 1.31, где была вычислепа матрица спектральных плотностей выходной переменной 
обусловленной возмущениями 
концентраций потоков, поступающих в бак. Предположим, что требуется вычислить среднее значение квадрата флуктуаций 
концентрации вытекающего потока. Это выражение может быть записано в следующем виде:
где весовая матрица имеет простую форму
Найдем, таким образом, среднее значение квадрата ошибки
При вычислениях квадратичных форм, рассмотренных в данном разделе, часто встречаются интегралы от рациональных функций, например вида (1.479). Таблицы таких интегралов могут быть найдены в приложениях книг [132, 160].
