4.4.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УСТАНОВИВШИХСЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В этом разделе рассматриваются свойства оптимального фильтра с постоянными параметрами в установившемся состоянии, когда интенсивность шума наблюдений стремится к нулю. Данный раздел является весьма коротким, поскольку все результаты можно получить путем «дуализации» результатов из разд. 3.8.

Рассмотрим сначала случай, в котором шум возбуждающий состояние [см. (4.237)], и наблюдаемая переменная являются скалярами. Из теоремы 3.11 (разд. 3.8.1) непосредственно следует теорема.

Теорема 4.12. Рассмотрим n-мерную систему с постоянными параметрами

где — скалярный белый шум с постоянной интенсивностью — скалярный белый шум, некоррелированный с шумом с положительной постоянной интенсивностью ; — вектор-столбещ с — вектор-строка. Предположим, что пара стабилизируемая, а — обнаруживаемая. Пусть — скалярная передаточная функция

— характеристический полином системы, а — его характеристические числа. Тогда характеристические числа установившегося оптимального наблюдателя являются нулями в левой полуплоскости полинома

В результате имеет место следующее.

а) При из полюсов установившегося оптимального наблюдателя достигают чисел где

б) При оставшиеся полюсов наблюдателя асимптотически приближаются к прямым линиям, которые пересекаются в начале координат и образуют углы с отрицательной вещественной осью, равные

Эти удаленные полюса наблюдателя асимптотически удалены от начала координат на расстояние

в) При полюсов наблюдателя достигают чисел где

Из пункта (б) следует, что удаленные полюса образуют распределение Баттерворса.

Для общего случая имеем следующий результат, который вытекает из теоремы 3.12 (разд. 3.8.1).

Теорема 4.13. Рассмотрим n-мерную систему с постоянными параметрами

где — белый шум с постоянной интенсивностью — белый шум, некоррелированный с шумом с постоянной интенсивностью Предположим, что пара является стабилизируемой, а — обнаруживаемой. Тогда полюса, установившегося оптимального наблюдателя являются нулями в левой полуплоскости полинома

где — передаточная матрица:

характеристический полином системы (4.258). Предположим, что , так что является -передаточной матрицей. Пусть

и примем, что Предположим также, что

при и положительном скаляре

а) Тогда при полюсов оптимального наблюдателя достигают чисел где

Остальные полюса наблюдателя удаляются в бесконечность и образуют несколько распределений Баттерворса различного порядка и различного радиуса. Грубая оценка расстояния от удаленных полюсов до начала координат составляет

б) При полюсов оптимального наблюдателя достигают чисел где

Некоторая информация относительно поведения полюсов наблюдателя при может быть получена путем дуализации результатов задачи 3.14.

Окончательно запишем теорему 3.14 (разд. 3.8.4) следующим образом.

Теорема 4.14. Рассмотрим систему с постоянными параметрами

где матрицы имеют полный ранг, белый шум с постоянной интенсивностью белый шум, некоррелированный с шумом имеющим постоянную несингулярную интенсивность Предположим, что пара является стабилизируемой, а обнаруживаемой, и пусть Q представляет собой установившееся решение уравнения Риккати (4.244) для дисперсий в задаче построения оптимального наблюдателя. Тогда имеет место следующее.

а) Существует предел

б) Пусть обозначает составляющую ошцбки восстановления вызванную шумом, возбуждающим состояние, а шумом наблюдений. Тогда для установившегося наблюдателя существуют следующие пределы:

г) Если и полином числителя квадратной передаточной матрицы

не равен нулю, тогда и только тогда, когда имеет нули только с неположительными вещественными частями.

д) Если , то достаточное условие для того, чтобы была нулевой матрицей, состоит в том, что должна существовать такая прямоугольная матрица, при которой полином числителя квадратной передаточной матрицы не равен нулю и имеет нули только с неположительными вещественными частями.

Эта теорема показывает, что если шум наблюдений отсутствует, то точное восстановление состояния системы возможно, если число компонент наблюдаемой переменной, по крайней мере, такое же, как число компонент шума вовбуждающего состояние. Даже если это условие и выполняется, то полностью успешное восстановление состояния возможно, только в том случае, если передаточная матрица от шума возбуждающего состояние, к наблюдаемой переменной у не имеет нулей в правой полуплоскости.

В связи с этим возникает следующий вопрос. При очень небольших значениях интенсивности шума наблюдений некоторые полюса оптимального наблюдателя сильно удалены, тогда как некоторые другие полюса остаются в окрестности начала координат. Из-за этих близко расположенных полюсов ошибка восстановления относительно медленно отклоняется от заданных начальных условий. В то же время теорема 4.14 устанавливает, что матрица дисперсий ошибки восстановления может быть весьма малой. Здесь, по-видимому, имеется противоречие. Ответ на этот вопрос состоит в следующем: структура наблюдаемой системы должна выбираться таким образом, чтобы ошибка восстановления не находилась в подпространстве, из которого ее можно вывести только медленно.

Завершим этот раздел замечанием, что предельную матрицу дисперсий при можно вычислить из решения сингулярной задачи оптимального наблюдения, которая получается, если положить Иногда в такой задаче построения наблюдателя пониженного порядка система является необнаруживаемой, в результате чего у соответствующего алгебраического уравнения Риккати будет более одного неотрицательно определенного решения. В этом случае, конечно, необходимо выбрать такое решение, которое делает наблюдатель пониженного порядка устойчивым (асимптотически или в смысле Ляпунова), так как наблюдатель полного порядка, который становится наблюдателем пониженного порядка при , всегда асимптотически устойчив.

Задача, которая является дуальной для вычисления матрицы , т. е. задача вычисления

для детерминированной задачи оптимального регулирования (раэд. 3.8.3), может быть решена путем постановки дуальной задачи наблюдения и решения результирующей сингулярной задачи оптимального наблюдения, как указывалось выше. В работе [30] дано прямое рещение задачи линейного регулирования без учета затрат на управление.

Пример 4.6. Система управления положением

В примере 4.4 (разд. 4.3.2) было найдено, что применительно к рассматриваемой системе управления положением установившееся решение для матрицы дисперсии ошибки определяется выражением

где

При матрица дисперсий имеет вид

Очевидно, матрица становится нулевой при . В примере 4.4 было установлено, что полюса оптимального наблюдателя равны

Асимптотическое поведение этих полюсов описывается выражением

которое представляет собой распределение Баттерворса второго порядка. Все эти факты не противоречат интуитивным соображениям, так как передаточная функция системы описывается уравнением

у которого нет нулей. Как было показано в примере 4.4, при оптимальный фильтр становится дифференцирующим фильтром пониженного порядка:

Если шум наблюдений отсутствует, то этот дифференцирующий фильтр восстанавливает состояние точно независимо от того, насколько велик шум, возбуждающий состояние.