3.5.4. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ НЬЮТОНА—РАФСОНА
В этом разделе рассматривается метод определения установившегося решения уравнения Риккати с постоянными параметрами, который существенно отличается от предыдущих 
Метод основан на многократном решении линейного матричного уравнения вида
которое рассматривалось в разд. 1.11.3.
Установившееся решение Р уравнения Риккати должно удовлетворять алгебраическому уравнению Риккати
где
Рассмотрим матричную функцию
Задача заключается в определении неотрицательно определенной симметрической матрицы Р, удовлетворяющей условию
Построим итерационную процедуру. Предположим, что на 
шаге получено решение 
которое мало отличается от искомого решения Р. Тогда напишем
Если Р является малой величиной, то можно аппроксимировать 
опуская квадратические члены в Р. Тогда получим
Суть метода Ньютона — Рафсона заключается в оценке Р, когда правая часть выражения (3.298) приравнивается к нулю.
Если полученную таким образом оценку Р обозначить через 
и приравнять
то найдем, полагая правую часть (3.298) равной нулю,
где
Уравнение (3.300) имеет такой же вид, как и уравнение (3.292), для решения которого существуют эффективные методы (см. разд. 1.11.3.). Таким образом, получаем следующий алгоритм:
а) выбираем соответствующую матрицу 
и полагаем номер итерации 
равным 0;
б) определяем 
из уравнения (3.300);
в) если достигается сходимость, то производим остановку; в противном случае увеличиваем к на единицу и возвращаемся к 
В работах [94, 120] показано, что если алгебраическое уравнение Риккати имеет единственное неотрицательно определенное решение, то 
удовлетворяют неравенству
и
при условии, что матрица 
выбрана таким образом, что выражение
асимптотически устойчиво. Это означает, что сходимость решения обеспечивается, если начальная схема выбрана правильно.
Если начальная оценка выбрана некорректно, то может наблюдаться сходимость к произвольному решению алгебраического уравнения Риккатиили вообще она может не достигаться. Если матрица 
асимптотически устойчива, то целесообразным выбором является 
Если А не является асимптотически устойчивой, то выбор начального приближения может представить определенные трудности. В работах [96, 122, 189] даны методы выбора 
для случая, когда выражение для А не является асимптотически устойчивым.
Основные трудности в этом методе связаны с уравнением (3.292), которое должно решаться многократно. Хотя это уравнение является линейным, его численное решение может оказаться трудоемким, так как число линейных уравнений, которые должны решаться на каждой итерации, быстро возрастает с увеличением размерности задачи (для 
это число равно 120). В разд. 1.11.3 обсуждались различные численные методы решения уравнения (3.292). В работах [18, 94, 95] освещается опыт успешного использования метода Ньютона — Рафсона для решения уравнений Риккати в задачах с размерностью до 15.
