6.6. Оптимальные линейные дискретные системы с обратной связью по выходной переменной

6.6.1. ВВЕДЕНИЕ

В данном разделе рассмотрим построение оптимальных линейных дискретных систем управления, состояние объекта которых не может быть полностью и точно наблюдаемым, вследствие чего к системе должен быть присоединен наблюдатель. Этот раздел соответствует по проблематике гл. 5.

6.6.2. РЕГУЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С НЕПОЛНЫМИ ИЗМЕРЕНИЯМИ

Рассмотрим линейную дискретную систему, описываемую разностным уравнением состояния

с управляемой переменной

В разд. 6.4 рассматривалось управление этой системой посредством обратной связи по состоянию с законом управления

Очень часто, однако, не представляется возможным точно измерить полное состояние, и доступной оказывается лить наблюдаемая переменная вида

Допуская, как и ранее, что является последним доступным наблюдением для, восстановления к данной системе можно присоединить наблюдатель вида

Тогда наиболее естественным действием является замена состояния х в (6.457) на его восстановленное значение х:

Сначала рассмотрим устойчивость соединения объекта, заданного

уравнениями (6.455) и (6.458), наблюдателя (6.459) и закона управления (6.460). Имеем следующий результат, полностью аналогичный результату из теоремы 5.2 (разд. 5.2.2) в непрерывном случае.

Теорема 6.46. Рассмотрим соединение системы, описываемой уравнениями (6.455) и (6.458), наблюдателя (6.459) и закона управления (6.460). Тогда достаточные условия существования таких матриц коэффициентов при которых вся система является экспоненциально устойчивой, состоят в том, что система, описываемая уравнениями (6.455) и (6.458), должна быть либо равномерно полностью управляемой и равномерно полностью восстанавливаемой, либо экспоненциально устойчивой. В случае постоянных параметров [т.е. все матрицы в уравнениях (6.455), (6.458) — (6.460) являются постоянными] необходимые и достаточные условия существования, стабилизирующих матриц коэффициентов К и состоят в том, что система, заданная уравнениями (6.455) и (6.458), должна быть и стабилизируемой, и обнаруживаемой. Кроме того, в случае постоянных параметров необходимые и достаточные условия для произвольного размещения всех полюсов замкнутой системы в комплексной плоскости (при ограничении, что комплексные полюса должны образовывать комплексно-сопряженные пары) посредством соответствующего выбора матриц коэффициентов К и состоят в том, что система должна быть полностью восстанавливаемой и полностью управляемой.

Доказательство этой теоремы следует после того, как устанавливается, что ошибка восстановления

удовлетворяет разностному уравнению

Подстановка в (6.460) и использование полученного соотношения в (6.455) приводит к уравнению

Затем при доказательстве теоремы 6.46 применяются теорема 6.29 (разд. 6.4.4), теорема 6.45 (разд. 6.5.4), теорема 6.26 (разд. 6.4.2) и теорема 6.41 (разд. 6.5.3). Кроме того, из (6.462) и (6.463) видно, что в случае постоянных параметров характеристические числа объединенной системы включают в себя характеристические числа матрицы (полюса регулятора) и характеристические числа матрицы (полюса наблюдателя).

Рис. 6.22. Реакция системы управления, положением с апериодическим состоянием и обратной связью по выходной переменной при начальном состоянии . (см. скан)

Реакции показаны только в дискретные моменты времени.

Особый интерес представляет случай, если при постоянных параметрах все полюса регулятора и все полюса наблюдателя размещаются в начале координат. Из разд. 6.5.3 известно, что наблюдатель будет восстанавливать состояние полностью и точно самое большее за шагов (в предположении, что — размерность состояния г), а из разд. 6.4.2 следует, что после этого регулятор будет приводить систему к нулевому состоянию самое большее за следующие шагов. Таким образом, получена оптимальная замкнутая система управления, которая приводит любое начальное состояние к началу координат самое большее за шагов. Назовем такие системы системами управления с апериодическим состоянием и обратной связью по выходной переменной.

Пример 6.24. Цифровал система управления положением с апериодическим состоянием и обратной связью по выходной переменной

Рассмотрим цифровую систему управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3). В примере 6.13 (разд. 6.3.3) был выведен закон управления с апериодическим состоянием для этой системы, а в примере 6.22 (разд. 6.5.3) был найден апериодический наблюдатель. На рис. 6.22 приводится реакция соединения из апериодического закона управления, апериодического наблюдателя и системы

при начальном состоянии

Видно, что начальное состояние приводится к нулевому состоянию за четыре шага. Сравнение с апериодической реакцией той же самой системы с обратной связью по состоянию, представленной на рис. 6.12 (разд. 6.3.3), показывает, что система управления с обратной связью по выходной переменной перед приходом к нулевому состоянию обнаруживает сравнительно большие отклонения состояния и требует больших амплитуд входного сигнала.