Обычно некоторые или все собственные векторы матрицы
могут быть комплексными. Тогда
также могут быть комплексными матрицами. Операции с комплексными числами можно избежать следующим образом. Так, если
собственный вектор
соответствующий характеристическому числу
с отрицательной вещественной частью, то комплексно-сопряженный вектор
также является собственным вектором, соответствующим характеристическому числу
с отрицательной вещественной частью, а последние
столбцов матрицы
будут содержать кроме вещественных вектор-столбцов только комплексно-сопряженные пары вектор-столбцов. В этом случае всегда можно выполнить такое несингулярное линейное преобразование
при котором каждая пара комплексно-сопряженных вектор-столбцов
заменяется на два вещественных вектора
. Тогда справедливо соотношение
из которого следует, что для вычисления Р можно использовать
и
вместо
Систематизируем метод определения Р:
а) Образуется матрица
и используется любой стандартный численный метод вычисления собственных векторов, соответствующих характеристическим числам с отрицательными вещественными частями,
б) Из этих
собственных векторов образуется
-матрица
где
есть
-блоки матрицы. Если
— вещественный собственный вектор, то пусть
будет одним из столбцов матрицы (3.288). Если еже образуют комплексно-сопряженную пару, то пусть
будет одним из столбцов матрицы (3.288),
— другим ее столбцом.
в) Вычисляется
Эффективность этого метода зависит от эффективности подпрограммы вычисления собственных векторов матрицы
. В работе [170] предложен алгоритм вычисления собственного вектора, который
особенно эффективен для задач такого типа. Этот алгоритм, как подчеркивалось выше, успешно использовался для решения уравнений Риккати высокого порядка [19, 65, 71]. В работе [59] представлена рациональная модификация этого метода.
Метод диагонализации можно также использовать не только для нахождения асимптотического решения уравнения Риккати, но и для исследования всего поведения матрицы
используя соотношения из задачи 3.11.11.
Другой метод вычисления асимптотического решения Р состоит в использовании тождества (ем. задачу 3.11.10)
где
определяется путем факторизации
таким образом, что корни
точно являются характеристическими числами
с отрицательными вещественными частями. Очевидно, что
является характеристическим полиномом замкнутой оптимальной системы в установившемся состоянии. Здесь
можно получить с помощью алгоритма Леверье (разд.
1.5.1) или стандартным методом определения характеристических чисел матриц. В работе [65] приведены результаты успешного использования этого метода, а в работах [19, 71] получены отрицательные результаты.