3.5.3. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ

Чтобы найти установившееся решение уравнения Риккати с постоянными параметрами, целесообразно использовать результаты, полученные в разд. 3.4.4 методом диагонализации матрицы размером Асимптотическое решение тогда определяется выражением

где получаются в результате разделения матрицы W:

Матрица состоит из собственных векторов матрицы образованных таким образом: первые столбцов матрицы соответствуют характеристическим числам с положительными вещественными частями, а последние столбцов матрицы — характеристическим числам матрицы с отрицательными вещественными частями.

Обычно некоторые или все собственные векторы матрицы могут быть комплексными. Тогда также могут быть комплексными матрицами. Операции с комплексными числами можно избежать следующим образом. Так, если собственный вектор соответствующий характеристическому числу с отрицательной вещественной частью, то комплексно-сопряженный вектор также является собственным вектором, соответствующим характеристическому числу с отрицательной вещественной частью, а последние столбцов матрицы будут содержать кроме вещественных вектор-столбцов только комплексно-сопряженные пары вектор-столбцов. В этом случае всегда можно выполнить такое несингулярное линейное преобразование

при котором каждая пара комплексно-сопряженных вектор-столбцов заменяется на два вещественных вектора . Тогда справедливо соотношение

из которого следует, что для вычисления Р можно использовать и вместо

Систематизируем метод определения Р:

а) Образуется матрица и используется любой стандартный численный метод вычисления собственных векторов, соответствующих характеристическим числам с отрицательными вещественными частями,

б) Из этих собственных векторов образуется -матрица

где есть -блоки матрицы. Если — вещественный собственный вектор, то пусть будет одним из столбцов матрицы (3.288). Если еже образуют комплексно-сопряженную пару, то пусть будет одним из столбцов матрицы (3.288),

— другим ее столбцом.

в) Вычисляется

Эффективность этого метода зависит от эффективности подпрограммы вычисления собственных векторов матрицы . В работе [170] предложен алгоритм вычисления собственного вектора, который

особенно эффективен для задач такого типа. Этот алгоритм, как подчеркивалось выше, успешно использовался для решения уравнений Риккати высокого порядка [19, 65, 71]. В работе [59] представлена рациональная модификация этого метода.

Метод диагонализации можно также использовать не только для нахождения асимптотического решения уравнения Риккати, но и для исследования всего поведения матрицы используя соотношения из задачи 3.11.11.

Другой метод вычисления асимптотического решения Р состоит в использовании тождества (ем. задачу 3.11.10)

где определяется путем факторизации

таким образом, что корни точно являются характеристическими числами с отрицательными вещественными частями. Очевидно, что является характеристическим полиномом замкнутой оптимальной системы в установившемся состоянии. Здесь можно получить с помощью алгоритма Леверье (разд.

1.5.1) или стандартным методом определения характеристических чисел матриц. В работе [65] приведены результаты успешного использования этого метода, а в работах [19, 71] получены отрицательные результаты.