6.2.3. СОЕДИНЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ И НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМ

Часто встречаются системы, состоящие из дискретной и непрерывной систем. Примером, представляющим особый интерес, является система, где ЦВМ используется для управления непрерывным

Рис. 6.1. Преобразование непрерывной функций в дискретную.

объектом. В таких системах должны иметься некоторые согласующие устройства, которые осуществляют связь между дискретной и непрерывной системами. Рассмотрим два наиболее простых вида согласующих устройств, а именно преобразователи непрерывной величины в дискретную (Н/Д) и преобразователи дискретной величины в непрерывную (Д/Н).

Преобразователь Н/Д называется также импульсным элементом (рис. 6.1); он является прибором, образующим из непрерывной функции на его входе , последовательность действительных чисел на его выходе в моменты времени при этом справедливо следующее соотношение:

Последовательность моментов времени задается. Надстрочный индекс в данном раздело используется, чтобы отличать последовательности от соответствующих непрерывных функций.

Преобразователь Д/Н является прибором, на который поступает последовательность чисел в данные моменты времени и который вырабатывает непрерывную функцию в соответствии с заданным предписанием. Рассмотрим самый простой тип преобразователя: Д/Н, известный под названием фиксатор нулевого порядка. Другие преобразователи описываются в соответствующей литературе (см., например, [156]). Фиксатор нулевого порядка (рис. 6.2) описывается соотношением

Рис. 6.3 иллюстрирует типичный пример соединения дискретной

Рис. 6.2. Преобразование дискретной функции в непрерывную

Рис. 6.3. Соединение дискретной и непрерывной систем.

и непрерывной систем. При анализе такой системы часто удобно рассматривать непрерывную систему вместе с преобразователями как эквивалентную дискретную систему. С целью показать, как определяется эквивалентная система в конкретном случае, предположим, что преобразователь Д/Н является фиксатором нулевого порядка, а преобразователь Н/Д — импульсным элементом. Кроме того, предположим, что непрерывная система на рис. 6.3 является линейной системой с дифференциальным уравнением состояния

и уравнением выходной переменной

Поскольку используется фиксатор нулевого порядка, имеем

Тогда, используя (1.61), можно записать выражение для состояния системы в момент времени

где переходная матрица системы (6.8). Это выражение является линейным разностным уравнением состояния вида (6.3). При выводе соответствующего уравнения выходной переменной предположим, что моменты времени, в которые квантуется выходная переменная, могут не совпадать с моментами, в которые изменяется входная переменная. Таким образом, рассмотрим выходную переменную в интервале квантования, которая определяется как

где

при . Напишем

Заменяя теперь на запишем уравнения системы в виде

где

Заметим, что дискретная система, описываемая уравнениями (6.15), имеет прямую связь даже в том случае, если непрерывная система, ее не имеет, потому что может отличаться от нуля, даже когда является нулем. Прямая связь, однако, отсутствует, если и моменты совпадают с моментами

В особом случае, когда моменты квантования равноудалены друг от друга, напишем

Рис. 6.4. Цифровая система управления положением.

и

Дискретная система (6.15), как и система также является системой постоянными параметрами, и

Назовем А периодом дискретности, — скоростью повторения.

После того, как получены дискретные уравнения, которые описывают непрерывную систему вместе с преобразователями, имеется возможность изучать соединение такой системы с другими дискретными системами.

Пример 6.2. Цифровая система управления положением

Рассмотрим непрерывную систему управления положением из примера 2.4 (разд. 2.3), которая описывается дифференциальным уравнением состояния

Предположим, что эта система является частью системы управления, которая управляется цифровой вычислительной машиной (рис. 6.4). Фиксатор нулевого порядка производит кусочно-постоянную входную функцию которая изменяет значение в равноотстоящие моменты времени, разделенные интервалами длиной А. Переходная матрица системы (6.20) равна

Отсюда нетрудно найти, что дискретное описание системы управления положением имеет вид

где

и

Заметим, что заменено на — на При численных значениях

получим разностное уравнение состояния

Пусть выходная переменная непрерывной системы, где

квантуется в моменты времени Тогда уравнение для выходной переменной дискретной системы имеет вид

где заменено на

Пример 6.3. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3) и предположим, что процессом управляет ЦВМ. В результате клапанная регулировка изменяется только в дискретные моменты времени и остается постоянной в интервале между ними. Предположим, что эти моменты разделены временным интервалом постоянной длины А. Непрерывная система описывается дифференциальным уравнением состояния

(кликните для просмотра скана)

При численных значениях из примера 1.2 получим

где выбрано

Пример 6.4. Смесительный бак с временнйм запаздыванием

В качестве примера системы с временным запаздыванием рассмотрим смесительный бак с дополнительным устройством, показанный на рис. 6.5. Здесь потоки перемешиваются до того, как они поступают в бак. Это не приводит к какому-либо изменению динамического поведения системы, если не учитывать запаздывание , которое имеет место в общей секции трубу.

Переписывая выражение для баланса масс и проводя линеаризацию, найдем, что уравнения системы теперь имеют вид -

где символы имеют те же самые значения, что и в примере 1.2 (разд. 1.2.3). Запишем уравнение в векторной форме

Заметим, что изменения в расходах оказывают немедленное рлияние на объем, но запаздывающее влияние на концентрацию.

Предположим теперь, что бак является частью системы, управляемой от ЦВМ, так что клапанная регулировка изменяется только в фиксированные моменты времени, разделенные интервалами длиной А. Для удобства предположим, что временное запаздывание равно к А, т. е. кратно периоду дискретности. Это означает, что разностное уравнение состояния дискретной системы записывается в форме

Можно показать, что при численных значениях из примера 1.2 и периоде дискретности

матрица А определяется выражением (6.31), тогда как

Нетрудно привести разностное уравнение (6.35) к стандартной форме разностцого уравнения состояния. Проиллюстрируем это для случая (эффект действия от изменения клапанной регулировки задерживается на один интервал дискретности). В этом случае, чтобы вычислить эффект от изменения клапанной регулировки, требуется помнить регулировку на предыдущем интервале. Определим вектор расширенного состояния

Используя это определение, нетрудно найти, что в терминах расширенного состояния система описывается разностным уравнением состояния

где

Отметим, что матрица А имеет два характеристических числа, равных нулю. Дискретные системы, представляющие собой конечномерные линейные дифференциальные системы с постоянными параметрами и кусочно-постоянным входным сигналом, никогда не имеют нулевых характеристических чисел, поскольку для таких систем и всегда является деособой матрицей.