1.6.2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В этом разделе рассматривается управляемость линейных систем с постоянными параметрами. Сначала получим следующий важный результат.

Теорема 1.23. n-мерная линейная система с постоянными параметрами

является полностью управляемой тогда и только, тогда, когда вектор-столбец матрицы управляемости

порождает n-мерное пространство.

Этот вывод может быть доказан формально следующим образом. Если в момент времени система находилась в нулевом состоянии, то состояние в момент определяется следующим образом:

Представляя экспоненциал в виде ряда Тейлора, найдем

Видно, что конечное состояние принадлежит линейному подпространству, порожденному вектор-столбцами бесконечной последовательности матриц . В этой последовательности должна появиться матрица, скажем все вектор-столбцы которой линейно зависят от комбинации вектор-столбцов предыдущих матриц Такая матрица должна иметь место, так как в -мерном пространстве не может быть более чем линейно независимых векторов. Это также предполагает, что

Рассмотрим теперь . Поскольку вектор-столбцы матрицы линейно зависят от комбинации вектор-столбцов матриц , можно написать

где являются матрицами, которые содержат коэффициенты, позволяющие выразить каждый вектор-столбец матрицы через вектор-столбцы матриц Следовательно, имеем

откуда видно, что столбцы матрицы также линейно зависят от вектор-столбцов Подобным же образом можно показать, что вектор-столбцы всех матриц для к I линейно зависят от вектор-столбцов матриц

Возвращаясь к выражению (1.283), можно видеть, что конечное состояние принадлежит линейному подпространству, порожденному вектор-столбцами матриц . Поскольку можно также сказать, что принадлежит подпространству, порожденному вектор-столбцами матриц Теперь ясно, что, если эти вектор-столбцы не порождают -мерное пространство, можно достичь только тех состояний, которые принадлежат линейному подпространству меньшей размерности, поэтому система не является полностью управляемой. Это доказывает, что, если система полностью управляема, вектор-столбцы управляемости Р порождают -мерное пространство.

Чтобы доказать другое утверждение теоремы, положим, что вектор-столбцы матрицы Р порождают -мерное пространство. Тогда соответствующим выбором входной переменной (включая, например, ортогональные полиномы), всегда

можно выбрать такие векторы коэффициентов

в уравнении (1.283), что правая часть (1.283) будет равна любому заданному вектору в пространстве, порожденном столбцами матрицы Р. По предположению столбцы матрицы Р порождают все n-мерное пространство, а это означает, что любое конечное состояние может быть достигнуто, и, следовательно, система является полностью управляемой. На этом заканчивается доказательство теоремы 1.23.

Управляемость системы (1.280), конечно, полностью определяется матрицами А и В. Поэтому удобно ввести следующую терминологию.

Определение 1.12. Пусть А и В — соответственно матрицы размерности . Тогда говорят, что пара полностью управляемая, если система,

является полностью управляемой.

Пример 1.20. Перевернутый маятник

Перевернутый маятник из примера 1.1 (разд. 1.2.3) является системой с единственной входной переменной, которая описывается дифференциальным уравнением состояния

Матрица управляемости системы имеет вид

Нетрудно видеть, что ранг матрицы Р равен четырем для всех значений параметров, поэтому система является полностью управляемой.