6.2.12. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ БЕЛЫМ ШУМОМ

При рассмотрении линейных дискретных систем возмущения или другие стохастически изменяющиеся явления мы обычно описывали как выходные переменные линейных дискретных систем вида

Здесь — переменная состояния, — выходная переменная, — последовательность взаимно некоррелированных векторных стохастических величин с нулевыми средними и матрицами дисперсий

Как видно из примера 6.7, процесс имеет сходство с процессом типа белого шума, рассмотренного в непрерывном случае, поэтому назовем его дискретным белым шумом. назовем матрицей дисперсий процесса. Если не зависит от то дискретный процесс типа белого шума является; стационарным в широком смысле. Если имеет гауссовское распределение вероятностей для каждого то является гауссовским дискретным процессом типа белого шума.

Процессы, описываемые уравнениями (6.140), могут возникать при дискретизации непрерывных процессов, описывающих

выходные переменные непрерывных систем, возбуждаемых белым шумом. Пусть непрерывная переменная описывается уравнением

где — белый шум интенсивности . Тогда, если — последовательность моментов дискретизации, из (1.61) можно написать

где — переходная матрица системы (6.142). Тогда, используя правила интегрирования из теоремы 1.51 (разд. 1.11.1), можно найти, что величины

, образуют последовательность взаимно некоррелированных стохастических величин с нулевыми средними и матрицами дисперсий

Отметим, что (6.143) представляется в виде (6.140).

Иногда представляет интерес вычислить матрицу дисперсий стохастического процесса, описываемого уравнением (6.140). Не трудно получить следующий результат.

Теорема 6.22. Пусть стохастический дискретный процесс является решением линейного стохастического разностного уравнения

где — последовательность взаимно некоррелированных векторных стохастических величин с нулевыми средними и матрицами дисперсий . Предположим, что имеет среднее и матрицу дисперсий . Тогда среднее значение процесса

и матрица дисперсий

могут быть определены следующим образом. Среднее значение равно

— переходная матрица системы, описываемой разностным уравнением (6.146), а является решением матричного разностного, уравнения

довели матрица А, В и V постоянные, то об установившемся поведении стохастического процесса х свидетельствует следующий результат.

Теорема 6.23. Пусть дискретный стохастический процесс является решением стохастического разностного уравнения

где А и В — постоянные матрицы, а некоррелированная последовательность стохастических величин имеет нулевое среднее и постоянную матрицу дисперсий V. Тогда, если все характеристические числа матрицы А имеют модуль, строго меньший чем ковариационная матрица процесса стремится к асимптотическому значению которое зависит только от Соответствующая асимптотическая матрица дисперсий Q является единственным решением матричного уравнения

В последующих разделах будут встречаться квадратичные выражения. В связи с этим следующие результаты являются полезными.

Теорема 6.24. Пусть процесс х является решением уравнения

где — последовательность взаимно некоррелированных стохастических величин с нулевыми средними и матрицами дисперсий Пусть — заданная последовательность неотрицательно определенных симметрических матриц. Тогда

где неотрицательно определенные симметрические матрицы являются решением матричного разностного уравнения

Если — постоянные матрицы, а все характеристические числа матрицы А по модулю строго меньше чем 1, то при приближается к постоянной величине Р, где Р — единственное решение матричного уравнения

Одним из методов решений линейных матричных уравнений (6.152) и (6.156) является многократное использование уравнений, (6.150) или (6.155). В работе [15] приводится другой метод. В работе [143] предлагается преобразование, которое приводит уравнения типа (6.152) или (6.156) к виду

и наоборот, так что методы решений, пригодные для одного из этих уравнений, могут быть также использованы для решения другого [относительно уравнений типа (6.157) см. разд. 1.11.3]. Особое место занимает случай гауссовских случайных величин.

Теорема 6.25. Рассмотрим стохастический дискретный процесс х, описываемый уравнением

Тогда, если взаимно некоррелированные сщохаетические величины являются гауссовскими и начальное состояние является гауссовским, х — гауссовский процесс.

Пример 6.9. Экспоненциально коррелированный шум

Рассмотрим стохастический процесс, описываемый стохастическим разностным уравнением

где образует последовательность скалярных некоррелированных стохастических величин с дисперсией . Рассмотрим — выходную переменную дискретной системы с постоянными параметрами и z-передаточной функцией

а также последовательность со в качестве входной переменной. Поскольку функция спектральной плотности процесса со равна

найдем, что, согласно (6.135), матрица спектральных плотностей процесса имеет вид

Заметим, что выражения (6.162) и (6.139) имеют одинаковую форму; следовательно, уравнение (6.159) описывает экспоненциально коррелированный шум. Установившаяся дисперсия о 2 процесса определяется из выражения (6.152); при этом имеем

или

Пример 6.10. Смесительный бак. при наличии возмущений В примере 1.37 (разд. 1.11.4) рассматривалась непрерывная модель смесительного бака при наличии возмущений. Стохастическое дифференциальное уравнение состояния такого бака имеет вид

где — белый шум интенсивности

Здесь компонентами состояния являются мгновенный расход, мгновенная концентрация в баке, мгновенная концентрация в потоке и мгновенная концентрация в потоке Изменения в концентрациях потоков представляются в виде экспоненциально коррелированных шумовых процессов со среднеквадратическими значениями и постоянными времени и соответственно.

Если предположить, что система управляется цифровой вычислительной машиной так, что регулировка клапанов изменяется в моменты времени, разделенные интервалом то дискретный вариант описания системы может быть получен на основании метода, описанного в начале данного раздела. Поскольку вывод соответствующих выражений является довольно громоздким, приведем окончательный результат для численных значений из примера 1.37, дополненных следующими значениями?

В результате стохастическое разностное уравнение состояния приобретает вид

где — последовательность некоррелированных стохастических векторов с нулевым средним и матрицей дисперсий

Посредством многократного применения уравнения (6.150) можно найти установившееся значение Q матрицы дисперсий состояния. Имеем

Это означает, что среднеквадратическое значение изменений объема бака равно нулю (что является очевидным, так как изменения концентраций не влияют на расходы), среднеквадратическое значение концентрации в баке равно а среднеквадратические значения концентраций в поступающих в бак потоках соответственно равны 0,1 и 0,2 кмоль/м3. Последние два значения, конечно, в точности соответствуют .