1.6.4. СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ

В данном разделе рассмотрим понятие стабилизируемости Соответствующая терминология будет объяснена в разд. 3.2. В разд. 1.4.3 были определены подпространства устойчивых и неустойчивых состояний для систем с постоянными параметрами. Любое начальное состояние может быть единственным образом представлено в следующем виде:

где принадлежит подпространству устойчивых состояний, а — подпространству неустойчивых состояний. Очевидно, что для правильного управления системой требуется, чтобы неустой-Чииая компонента была полностью управляемой.

Определение 1.14. Линейная система с постоянными параметрами

является стабилизируемой, если подпространство неустойчивых состояний содержится в подпространстве управляемых состояний, т. е. любой вектор принадлежащий подпространству неустойчивых состояний, принадлежит также подпространству управляемых состояний.

Иногда удобно использовать следующую упрощенную терминологию.

Определение 1.15. Пара называется стабилизируемой, если система

является стабилизируемой.

Имеем следующий очевидный результат.

Теорема 1.27. Любая асимптотически устойчивая система с постоянными параметрами является стабилизируемой. Любая полностью управляемая система является стабилизируемой Стабшшзируемость системы удобно исследовать, если дифференциальное уравнение состояния представлено в канонической форме управляемости. Это вытекает из следующего результата.

Теорема 1.28. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами

Предположим, что уравнение (1.318) преобразовано согласно теореме 1.26 в каноническую форму управляемости

где пара полностью управляемая. Система (1.318) является полностью стабилизируемой в том и только том случае, когда матрица асимптотически устойчива.

Другими словами, система является стабилизируемой тогда и только тогда, когда ее полюса неуправляемости являются устойчивыми. Докажем теорему следующим образом.

а) Из стабилизируемостпи следует асимптотическая устойчивость матрицы А. Предположим, что система (1.318) стабилизируемая. Тогда преобразованная система (1.319) также

является стабилизируемой (задача 1.12.6). Пусть имеет место разбиение

где размерность вектора является размерностью подпространства управляемых состояний исходной системы (1.318).

Предположим, что матрица является неустойчивой. Выберем -мерный вектор в подпространстве неустойчивых состояний, соответствующем матрице Тогда очевидно, что -мерный вектор-столбец принадлежит подпространству неустойчивых состояний системы (1.319). Ясно, однако, что этот нектор не принадлежит подпространству управляемых состояний системы (1.319). Это означает, что существует вектор, который принадлежит подпространству неустойчивых состояний, но принадлежит подпространству управляемых состояний, что противоречит предположению о стабилизируемости. Это доказывает, что если система (1.318) является стабилизируемой, то матрица должна быть устойчивой.

б) Из устойчивости матрицы следует стабилизируемостъ. Допустим, что матрица устойчивая. Тогда любой вектор, который принадлежит подпространству управляемых состояний системы (1.319), должен иметь форму Однако, поскольку пара является полностью управляемой, этот вектор также принадлежит подпространству управляемых состояний системы (1.319). Это показывает, что любой вектор из подпространств неустойчивых состояний системы (1.319) также принадлежит подпространству управляемых состояний, поэтому система (1.319) ииляется стабилизируемой. Следовательно (задача 1.12.6), исходная система (1.318) является также стабилизируемой.

Пример 1.22. Смесительный бак

Смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3) при условии описывается дифференциальным уравнением состояния

Как было показано выше, эта система не является полностью управляемой. Дифференциальное уравнение состояния уже имеет каноническую форму управляемости. Матрица имеет характеристическое

число , откуда следует, что система является стабилизируемой. Это означает, что. даже если приращение концентрации первоначально имеет неправильное значение, оно в итоге будет стремиться к нулю.