2.3. Замкнутые регуляторы: основной принцип проектирования

В данном разделе даются детальные описания объекта и замкнутых регуляторов. Эти описания составляют основу для последующего материала, излагаемого в настоящей главе. Далее определяются среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входной переменной и показывается, как эти величины могут быть вычислены.

В данной главе и почти во всей книге предполагается, что объект можэт быть представлен линейной дифференциальной системой; при этом некоторые компоненты входной переменной являются

стохастическими процессами. Дифференциальное уравнение состояния системы имеет вид

Здесь — состояние объекта, — входная переменная. Начальное состояние — стохастическая величина, а возмущающая переменная — но предположению стохастический процесс. Наблюдаемая переменная определяется выражением

где предполагается, что шум наблюдений является стохастическим процессом. Управляемая переменная определяется в виде

Наконец, предполагается, что эталонная переменная является стохастическим процессом той же размерности, что и управляемая переменная

В общем виде замкнутый регулятор также будет представлен как линейная дифференциальная система с эталонной переменной и наблюдаемой переменной в качестве входных воздействий и входной переменной объекта в качестве выходной величины. Дифференциальное уравнение состояния замкнутого регулятора будет иметь вид

тогда как уравнение выходной переменной регулятора представляется следующим образом:

Здесь индекс относится к эталонной переменной, а индекс к обратной связи. Переменная характеризует состояние регулятора. Начальное состояние является либо заданным вектором, либо стохастической величиной. На рис. 2.7 ноказаны связи объекта и регулятора, которые составляют систему управления. При замкнутый регулятор преобразуется в разомкнутый регулятор (рис. 2.8). Система управления с замкнутым регулятором представляет собой замкнутую систему управления, а система управления с разомкнутым регулятором — разомкнутую систему управления.

Определим два критерия качества системы управления,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

которые будут характеризовать, насколько успешно работает система управления.

Определение 2.1. Среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение входной переменной определяются выражениями

Здесь ошибка слежения равна

заданные неотрицательно определенные симметрические весовые матрицы.

Если матрица является диагональной, что обычно и бывает, то представляет собой взвешенную сумму средних значений квадратов ошибок слежения каждой из компонент управляемой переменной. Если ошибка — скалярная переменная и то — среднеквадратическая ошибка слежения. Аналогичным образом, если входная переменная — скаляр и то — среднеквадратическое значение входной переменной.

Основной целью при проектировании системы управления является уменьшение до возможно меньшего уровня среднего значения квадрата ошибки слежения. Уменьшение обычно предполагает увеличение среднего значения квадрата входной переменной Поскольку максимально возможное значение определяется мощностью объекта, должен быть найден компромисс между требованием к малому среднему значению квадрата ошибки слежения, и необходимостью ограничения среднего значения квадрата входной переменной до приемлемого уровня.

Основной принцип проектирования. При проектировании систем управления следует добиваться Самого низкого из возможных среднего значения квадрата ошибки слежения, не допуская превышения среднего значения квадрата, входной переменной выше заданной величины.

В последующих разделах приводятся более конкретные правила проектирования, вытекающие из основного принципа, в частности для случая систем управления с постоянными параметрами.

Рассмотрим способ вычисления среднего значения квадрата ошибки и среднего значения квадрата входной переменной Сначала для получения дифференциального уравнения состояния системы управления используем метод расширения

пространства из разд. 1.5.4. Из уравнений состояния и выходной переменной найдем

Для ошибки слежения и входной переменной имеем

Вычисление выполняется в два этапа. Сначала определяется среднее, или детерминированная часть процессов и которые описываются выражениями

Средние значения вычисляются с использованием расширенного уравнения состояния (2.13) и соотношения (2.14), где стохастические процессы заменяются своими средними значениями, а в качестве начального состояния принимается среднее значение вектора .

Обозначим через переменные, которые получаются вычитанием из и т. д. их средних значений и т. д., т. е.

Используя эти обозначения, запишем выражения для среднего значения квадрата ошибки слежения и среднего значение квадрата входной переменной. Имеем

Члены могут быть легко найдены, если известны матрица дисперсий процесса

Чтобы определить эту матрицу дисперсий, необходимо смоделировать составляющие процессов соответствующие нулевому среднему значению, как выходные переменные линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом (разд. 1.11.4). Тогда вектор расширяется за счет состояний моделей, генерирующих различные стохастические процессы, а матрица дисперсий результирующего расширенного состояния может быть вычислена с использованием дифференциального уравнения для матрицы дисперсий из разд. 1.11.2. Полная процедура иллюстрируется примерами.

Пример 2.4. Система управления положением

Продолжим рассмотрение примера 2.1 (разд. 2.2.2). Движение антенны может быть описано дифференциальным уравнением

Здесь — момент инерции всех вращающихся элементов конструкции, включая антенну; В — коэффициент вязкого трения, — момент, развиваемый двигателем, — возмущающий момент, вызываемый ветром. Предполагается, что момент, развиваемый двигателем, пропорционален входному напряжению т. е.

Определяя переменные состояния запишем дифференциальное уравнение состояния в виде

где

Управляемой переменной является угловое положение антенны

Параметрам присваиваются следующие численные значения:

Вариант 1. Обратная связь по положению посредством регулятора нулевого порядка.

В качестве первой попытки спроектировать систему управления рассмотрим схему, намеченную в примере 2.1. Единственной измеряемой переменной является угловое положение поэтому уравнение наблюдаемой переменной имеет вид

где — шум измерений. Предполагаемый регулятор может быть описан соотношением

где — эталонный угол, а — постоянный коэффициент усиления.

Рис. 2.9. Упрощенная блок-схема замкнутой системы управления положением с регулятором нулевого порядка.

На рис. 2.9 показана упрощенная блок-схема системы управления, откуда видно, что напряжение, подаваемое на двигатель, пропорционально разности между эталонным углом и наблюдаемым угловым положением Знаки выбираются таким образом, чтобы положительное значение разности приводило в результате к положительному моменту, прикладываемому к валу антенны. Вопрос о том, каким выбрать пока остается открытым; он будет рассмотрен в примерах последующих разделов.

Из (2.19), (2.23) и (2.24) следует дифференциальное уравнение состояния замкнутой системы

Заметим, что регулятор (2.24) не увеличивает размерности замкнутой системы по сравнению с размерностью объекта, поскольку он не имеет динамики. Регуляторы этого типа относятся к регуляторам нулевого порядка.

В последующих примерах будет показано, как могут быть вычислены среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входной переменной при наличии стохастических процессов в системе уравнений замкнутой системы.

Вариант 11. Обратные связи по положению и скорости посредством регулятора нулевого порядка.

В последующих главах будет показано, что чем больше информации о состоянии системы имеется в системе управления, тем лучше. Поэтому введем в систему, кроме потенциометра, измеряющего угловое положение, тахогенератор, устанавливаемый на валу антенны, который измеряет угловую скорость. Таким образом, имеется полная информация о состоянии, хотя, конечно, искаженная шумом. Тогда наблюдаемая переменная приобретает вид

где является шумом наблюдений.

Предложим теперь, следующую простую схему управления (рис. 2.10):

Рис. 2.10. Упрощенная блок-схема замкнутой системы управления положены ем и скоростью с регулятором нулевого порядка.

При таком способе управления входное напряжение двигателя содержит не только составляющую, пропорциональную ошибке слежения но также и добавочную составляющую, пропорциональную угловой скорости Эта составляющая играет следующую роль. Допустим, что в данный момент разность положительна а также имеет место положительная и значительная по величине угловая скорость Это означает, что антенна с большой скоростью движется в требуемом направлении. Поэтому может оказаться желательным не продолжать перемещение антенны, а начать торможение и таким образом избежать перерегулирования (перехода через желаемое положение). Если выбрано правильно, то управлением (2.27) можно это осуществить в противоположность управлению (2.24). Позже будет показано, что данная схема может обеспечить более высокие показатели регулирования, чем схема, рассмотренная в варианте I.

Вариант 111. Обратная связь по положению посредством регулятора первого порядка.

При данном подходе так же, как и в варианте I, предполагается, что измеряемым является только угловое положение . Если наблюдения не содержат какого-либо шума, можно для получения производной из координаты использовать дифференцирующее звено и продолжить построение системы в соответствии с вариантом II. Однако, поскольку всегда присутствует шум измерений, использовать дифференцирование нельзя, так как это ведет к значительному увеличению уровня шума. Поэтому попытаемся использовать приближенное дифференцирующее звено (рис. 2.11), которое в определенной степени может «фильтровать» шум. Такое приближенное дифференцирующее звено можно

Рис. 2.11. Упрощенная блок-схема замкнутой системы управления положением с регулятором первого порядка.

реализовать с помощью устройства, имеющего передаточную функцию

— (малая) положительная постоянная времени. Чем больше величина тем в меньшей степени это звено является дифференцирующим, но тем меньше усиливается шум.

Входная переменная объекта может быть представлена в виде

где — наблюдаемое угловое положение, как и в (2.23), а — «приближенная производная», т. е. удовлетворяет дифференциальному уравнению

В данном случае регулятор является динамической системой первого порядка. Детальный анализ качества рассматриваемой системы управления также откладывается до последующих разделов, где будут выбраны соответствующие значения постоянной времени и коэффициентов X и Как будет видно, показатели качества этой системы занимают промежуточное значение между показателями качества систем вариантов I и II; данная система может достичь лучших показателей, чем в варианте I, хотя и не таких хороших, как в варианте II.