5.5. Системы регулирования и следящие системы с ненулевыми заданными точками и постоянными возмущениями

5.5.1. НЕНУЛЕВЫЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

В гл. 2 было показано, что в отдельных случаях весьма важной задачей является построение следящей системы с нулевой установившейся ошибкой при постоянных значениях эталонной переменной. Представленный в предыдущем разделе метод не позволяет разработать такие следящие системы, так как член в критерии оптимальности, который взвешивает входную переменную, всегда уменьшает величину входной переменной за счет ненулевой ошибки слежения. При малых весах входной переменной установившаяся ошибка слежения уменьшается, но никогда не исчезает полностью. В этом разделе рассмотрим задачу получения нулевой установившейся ошибки слежения, как и в разд. 3.7.1, с использованием переменной заданной точки. Рассмотрим систему

с управляемой переменной

В разд. 3.7.1 был получен оптимальный закон управления с ненулевой заданной точкой

где — установившаяся матрица коэффициентов усиления в критерии

а — передаточная матрица замкнутой системы

Предполагается, что размерность и равна размерности z и что передаточная матрица разомкнутой системы не имеет нулей в начале координат. Эти предположения гарантируют существование матрицы Наконец, является заданной точкой для управляемой переменной. Закон управления. (5.156) заставляет систему управления достигать заданной точки из начального состояния оптимальным образом и делает оптимальным переход к новой заданной точке при изменении

Рассмотрим теперь стохастический вариант задачи регулирования при ненулевой заданной точке. Предположим, что объект описывается уравнением

где — белый шум. Управляемая переменная вновь определяется выражением

однако теперь вводится наблюдаемая переменная

где — также белый шум. Предположим, что заданная точка для управляемой переменной в этой системе известна точно. Тогда оптимальным регулятором при ненулевой заданной точке для этой оистемы в установившемся состоянии, очевидно, является

где К — установившаяся матрица коэффициентов усиления оптимального наблюдателя, и определяются, как и раньше. Если шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений отсутствуют, то управляемая переменная будет постепенно приближаться к при возрастании

Закон управления является оптимальным в том смысле, что установившаяся величина

достигает минимума, когда z и берутся относительно их заданных значений. Когда заданная точка изменяется, производится оптимальный переход к новой заданной точке.

Регулятор, описываемый уравнениями (5.162), может дать очень хорошие результаты, когда заданная точка является медленно меняющейся величиной. Если заданная точка иногда претерпевает ступенчатые изменения, то это может привести к входной переменной, при которой переходный процесс будет значительным, и тогда необходимо уменьшать коэффициент усиления системы. Это в свою очередь снижает способность системы противодействовать возмущениям. Такую трудность можно, преодолеть, рассматривая быстрые изменения заданной точки как шум. Запишем тогда закон управления (5.162) в форме

где — оцениваемая заданная точка. Наблюдаемая заданная точка определяется выражением

где — белый шум, — фактическая заданная точка. Чтобы определить (ср. с примером 4.3, разд. 4.3.2, по оценке константы), представим в виде

где — другой белый шум. Установившийся оптимальный наблюдатель для заданной точки описывается выражением

где — соответствующая матрица коэффициентов установившегося наблюдателя.

Рис. 5.8. Оптимальный регулятор с ненулевой заданной точкой и наблюдателем заданной точки.

Регулятор, определяемый соотношениями: (5.164) и (5.167), обладает таким свойством, что если шум отсутствует и наблюдаемая заданная точка является постоянной, то управляемая переменная в установившемся состоянии точно равна Это следует из соотношения (5.167), так как в установившемся состоянии поэтому в выражении заменяется на что в свою очередь приводит к величине Видно, что в том случае, когда и. и z являются скалярами, предварительный фильтр (рис. 5.8), определяемый соотношениями (5.164) и (5.167), есть не что иное, как фильтр первого порядка. В системе высокой размерности получается обобщение случай фильтра первого порядка. Если предполагается, что компоненты белых шумов некоррелированы, то легко показать, что матрица является диагональной. Тогда предварительный фильтр состоит просто из параллельного соединения скалярныхфильтров первого порядка. Предполагается, что постоянные времени этих фильтров должны определяться по заданной реакции на ступенчатые изменения компонент эталонной переменной с учетом величин ступенчатых изменений и допустимых амплитуд входной переменной.

Пример 5.5. Система управления положением

В примере 5.3 (разд. 5.3.2) был построен оптимальный регулятор с нулевой заданной точкой для системы управления положением. Построим соответствующую систему? управления положением с ненулевой заданной точкой. Сначала определим оптимальный закон управления с ненулевой заданной точкой. Из примера 3.8 (разд. 3.4.1) следует, что передаточная функция замкнутой системы определяется выражением

Рис. 5.9. Реакции системы управления положением как системы управления с ненулевой заданной точкой на ступенчатое изменение заданной точки на 1 рад при различных значениях коэффициента усиления предварительного фильтра ко.

Следовательно, закон управления (5.164) при ненулевой заданной точке имеет вид

где — оцениваемая заданная точка. Рассмотрим случай ступенчатых изменений наблюдаемой заданной точки. Наблюдатель (5.167) для заданной точки записывается в форме

где эталонная переменная, а скалярный коэффициент усиления. На рис. 5.9 представлены переходные процессы в системе управления с ненулевой заданной точкой, определяемой соотношениями (5.169) и (5.170), для ступенчатого изменения 1 рад в эталонной переменной при различных значениях коэффициента и для численных значений из примера 5.3. Предполагая, что допустимо входное напряжение до 100 В, получим, что допустимая величина составляет Соответствующая постоянная времени предварительного фильтра равна .