4.2. Наблюдатели

4.2.1. НАБЛЮДАТЕЛИ ПОЛНОГО ПОРЯДКА

Чтобы восстановить состояние х системы (4.1) по наблюдаемой переменной у, определяемой соотношением (4.2), рассмотрим линейную дифференциальную систему, выход которой должен являться аппроксимацией состояния х в соответствующем смысле. Далее будет исследовано, какими должны быть структура этой системы и ее поведение. Сначала введем следующую терминологию [117].

Определение 4.1. Система

является наблюдателем для системы

если для каждого начального состояния существует начальное состояние для системы (4.4), такое, что равенство

приводит к

при

Заметим, что входами наблюдателя (4.4) являются входная переменная системы и и наблюдаемая переменная состояния

системы у, а выходом — переменная . Наибольший интерес представляет специальный тип наблюдателей, в которых состояние наблюдателя само по себе является аппроксимацией состояния системы

Определение 4.2. Система порядка

является наблюдателем полного порядка для системы порядка

если

дает

при

Наблюдатель (4.8) называется наблюдателем полного порядка, так как его состояние х имеет такую же размерность, как у состояния х системы (4.9). В разд. 4.2.3 будут рассмотрены наблюдатели типа (4.4), размерность которых меньше, чем у состояния х. Такие наблюдатели назовем наблюдателями пониженного порядка (пониженной размерности).

Рассмотрим теперь, каким условиям должны удовлетворять матрицы для того, чтобы система (4.8) была наблюдателем. Сформулируем сначала следующий результат.

Теорема 4.1. Система (4.8) является наблюдателем для системы (4.9) тогда и только тогда, когда

где является произвольной переменной во времени матрицей. В результате наблюдатели полнога порядка имеют следующую структуру.

Рис. 4.1. Блок-схема наблюдателя полного порядка.

Эту теорему можно доказать следующим образом. Вычитая уравнение (4.8) из (4.9а) и используя соотношение (4.96), получим следующее дифференциальное уравнение для разности

Из этого уравнения непосредственно следует, что из равенства для при всех следует (4.12). И наоборот, если выполняется (4.12), то из этого следует

это показывает, что если то для всех Тем самым завершается доказательство теоремы.

Уравнение (4.13) получается путем подстановки (4.12) в (4.8). Поэтому наблюдатель полного порядка (рис. 4.1) включает модель системы, а также дополнительную переменную, которая пропорциональна

разности где соотношение

является наблюдаемой переменной, восстанавливаемой наблюдателем. Назовем матрицу матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. До сих пор выбор матрицы при является произвольным.

Из уравнения (4.13) видно, что наблюдатель можно также представить в виде

Отсюда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы Конечно, устойчивость наблюдателя сама по себе является желательным свойством, однако следующая теорема показывает, что устойчивость наблюдателя имеет и другое важное значение.

Теорема 4.2. Рассмотрим наблюдатель для системы

для системы

Тогда ошибка восстановления

удовлетворяет дифференциальному уравнению

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

для всех тогда и только тогда, когда наблюдатель является асцмптотически устойчивым.

Тот факт, что ошибка восстановления, определяемая соотношением (4.20), удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.21), непосредственно следует из уравнения (4.15). Сравнение уравнений (4.21) и (4.17) показывает, что устойчивость наблюдателя

и асимптотическое поведение ошибки восстановления определяются поведением матрицы Отсюда видно, что ошибка восстановления достигает нуля независимо от ее начального состояния тогда и только тогда, когда наблюдатель асимптотически устойчив. Этот результат весьма важен.

Следовательно, синтез наблюдателя состоит в определениитакой матрицы коэффициентов усиления при для которой дифференциальное уравнение ошибки восстановления (4.21) асимптотически устойчиво. В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления К, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы Назовем характеристические числа матрицы полюсами наблюдателя. В следующем разделе будет показано, что при нежестком ограничении (полной восстанавливаемости системы) все полюса наблюдателя могут быть расположены произвольно на комплексной плоскости путем соответствующего выбора матрицы К (при ограничениях, что комплексные полюса образуют комплексно-сопряженные пары).

Здесь можно предложить только некоторые интуитивные рекомендации по выбору матрицы с целью получения удовлетворительных характеристик наблюдателя. Чтобы обеспечить быструю сходимость ошибки восстановления к нулю, матрицу К необходимо выбрать так, чтобы полюса наблюдателя были значительно удалены в левой половине комплексной плоскости. Однако это обычно достигается лишь путем выбора большой матрицы коэффициентов усиления К, что в свою очередь делает наблюдатель весьма чувствительным к любому шуму в наблюдениях, который, возможно, присутствует помимо наблюдаемой переменной Здесь необходимо обеспечить компромисс. Разд. 4.3 посвящен задаче обеспечения оптимального компромисса с учетом всех статистических аспектов задачи.

Пример 4.1. Система управления положением

В примере 2.4 (разд. 2.3) была рассмотрена система управления положением, описываемая дифференциальным уравнением состояния

Здесь где обозначает угловое перемещение, а — угловую скорость. Предположим, что наблюдаемая переменная является угловым перемещением, т. е.

Рис. 4.2. Фактическая реакция системы управления положением и реакция, восстановленная наблюдателем полного порядка.

Наблюдатель с постоянными параметрами для этой системы описывается уравнением

где постоянные коэффициенты необходимо выбрать. Характеристический полином наблюдателя определяется уравнением,

При численных значениях из примера 2.4 характеристические числа системы (4.23) находятся в точках Чтобы быстродействие наблюдателя было сравнимо с быстродействием самой системы, выберем коэффициенты усиления таким образом, чтобы полюса наблюдателя были равны Это дает следующие значения коэффициентов усиления:

На рис. 4.2 сравнивается выходной сигнал наблюдателя с фактической реакцией системы. Начальными условиями в системе управления положением являются

тогда как входное напряжение равно

Наблюдатель имеет нулевые начальные условия. Рис. 4.2 иллюстрирует высокую сходимость восстанавливаемого углового положения к его фактическому положению.