6.5.6. ДУАЛЬНОСТЬ ЗАДАЧ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЯ И РЕГУЛЯТОРА; СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

В данном разделе показывается дуальность задач построения линейных дискретных оптимальных регуляторов и наблюдателей. Здесь имеются следующие результаты.

Теорема 6.44. Рассмотрим задачу построения линейного дискретного оптимального регулятора (ЗПЛДОР) по определению 6 .16 (разд. 6.4.3 и задачу построения линейного дискретного оптимального наблюдателя (ЗПЛДОН ) по определению 6.19 (разд. 6.5.4. Пусть в задаче наблюдения матрица определяется выражением

где

Предположим также, что шум возбуждения состояния и шум наблюдений являются некоррелированными в ЗПЛДОН, т.е.

Пусть различные матрицы, встречающиеся в ЗПЛДОР и ЗПЛДОН, связаны следующим образом:

для всех . Здесь

При этих условиях решения ЗПЛДОР (теорема 6.28, разд. 6.4.3) и ЗПЛДОН (теорема 6.42, разд. 6.5.4) связаны следующим образом:

в) замкнутый регулятор в ЗПЛДОР

и уравнение ошибки восстановления в

являются дуальными по отношению к в смысле определения 6.9.

Доказательство этой теоремы следует из сравнения рекуррентных матричных уравнений, которые определяют решения/задач регулирования и наблюдения. Вследствие дуальности вычислительные программы для задач регулирования могут быть использованы для задач наблюдения и наоборот. Более того, используя дуальность, нетрудно получить следующие результаты относительно установившихся свойств неособого оптимального наблюдателя с некоррелированными шумами возбуждения состояния и наблюдений из соответствующих свойств оптимального регулятора.

Теорема 6.45. Рассмотрим неособую задачу построения оптимального наблюдателя. с некоррелированными шумами возбуждения

состояния и наблюдений. Допустим, что ограничены для всех и что

где — положительные константы.

1. Тогда, если система (6.419) либо

а) полностью восстанавливаемая, либо

б) экспоненциально устойчивая,

а начальная дисперсия дисперсия ошибки восстановления сходится к установившемуся решению при которое удовлетворяет матричным разностным уравнениям (6.435).

2. Если система

либо

в) равномерно полностью восстанавливаемая и равномерно полностью управляемая (по либо

г) экспоненциально устойчивая,

дисперсия ошибки восстановления сходится к при для любой начальной дисперсии

3. Если выполняется условие (в) или условие то установившийся наблюдатель, который получается с использованием матрицы коэффициентов К, соответствующей установившейся дисперсии является экспоненциально устойчивым.

4. Наконец, если выполняется условие (в) или условие то установившийся наблюдатель минимизирует

для любой начальной дисперсии Минимальное значение выражения (6.453), которое достигается при установившемся оптимальном наблюдателе, равно

Подобным же образом, из. «дуализации» теоремы 6.31 (разд. 6.4.4) следует, что в неособой задаче построения оптимального наблюдателя с постоянными параметрами при некоррелированных шумах возбуждения состояния и наблюдения свойства, упомянутые в выполняются при условии, что система (6.452) является и обнаруживаемой, и стабилизируемой.

Предоставим читателю в качестве упражнения установить дуальность теоремы 6.37 (разд. 6.4.7) относительно асимптотического поведения полюсов регулятора.