3.4.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРА С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ

В этом разделе будет предпринято дальнейшее исследование устойчивого решения задачи синтеза регулятора с постоянными параметрами. Это позволяет разработать метод определения устойчивого решения уравнения Риккати и, кроме того, подойти к вопросу получения информации о полюсах замкнутой системы и поведении регулятора в замкнутом контуре. В этом разделе будем полагать, что разомкнутая система является стабилизируемой и обнаруживаемой.

В разд. 3.3.2 было показано, что задачу синтеза регулятора можно решить, анализируя линейное дифференциальное уравнение

где — постоянная матрица

Здесь Соответственно имеем граничные условия

Из разд. 3.3.2 и 3.3.3 [уравнение (3.92)] известно, что связаны соотношением

где — решение матричного уравнения Риккати с конечным условием Выберем теперь

где Р — установившееся решение уравнения Риккати. Тогда, очевидно, уравнение Риккати имеет, решение

Из этого следует, что установившееся решение можно получить путем замены конечного условия (3.2486) начальным условием

Решение дифференциального уравнения (3.246) с начальными условиями (3.248 а) и (3.252) дает установившееся поведение переменной состояния и сопряженной переменной.

Исследуем решение этой задачи методом диагонализации матрицы Можно показать с помощью элементарных преобразований определителя, что

Следовательно, является полиномом относительно откуда следует, что если — характеристическое число матрицы то тоже характеристическое число. Для простоты предположив, что все характеристические числа являются различными (более общий случай представлен в задаче 3.9). Это позволяет провести диагонализацию матрицы следующим образом:

Здесь А — диагональная матрица, которая образуется следующим образом. Если характеристическое число К матрицы имеет строго положительную часть, то оно является диагональным элементом матрицы А. Характеристическое число автоматически располагается в матрице . Если имеет нулевую вещественную часть, то одно характеристическое число из пары произвольно назначается матрице А, а другое — матрице — А. Матрица образована собственными векторами вектор-столбец является собственным вектором соответствующим характеристическому числу в диагональном положении .

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

где

Разделим матрицу следующим образом:

Тогда можно написать

Известно, что установившееся решение устойчиво, т. е. при Это также предполагает, что при

Из уравнения (3.255), однако, следует, что

Так как все характеристические числа матрицы Л имеют нулевые или положительные вещественные части, то может сходиться к нулю, если только Согласно выражению (3.258) это соответствует всем тогда и только тогда, когда Р удовлетворяет соотношению

Если матрица несингулярна, то уравнение можно разрешить относительно Р следующим образом:

В любом случае Р должно удовлетворять уравнению Предположим, что (3.260) не имеет единственного неотрицательно определенного решения Р, и пусть является одним из неотрицательно определенных решений. Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (3.246) с конечным условием

Можно записать решение в форме

где матрица также разделена. Подстановка (3.262) дает

Учитывая, что является решением уравнения (3.260), получим

При первое из этих уравнений сводится к виду

Поскольку двухточечная краевая задача должна иметь решение для всех матрица, связывающая должна быть несингулярной (в противном случае это уравнение не будет иметь решения, если не находится в диапазоне, допустимом для зтой матрицы). Действительно, так как любое можно рассматривать как начальный момент времени на интервале матрица

должна быть несингулярной для всех Решая уравнение (3.265а) относительно и подставляя решение в (3.2656), получим

или в соответствии с работой [134]

Решая двухточечную краевую задачу с конечным условием , получим решение в виде

где Р — константа. Так как это решение не зависит от конечного времени также является установившимся решением Р уравнения Риккати при . Поскольку как известно из теоремы 3.7, это установившееся решение является единственным, нельзя не сделать вывод, Что

Из этого следует, что матрица не является сингулярной, а Р можно представить в форме (3.271). Поскольку разделенные блоки матриц V и взаимосвязаны, можно также показать, что является несингулярной матрицей, и, как следствие, выражение (3.261) является точным (задача 3.11.12).

В дополнение к этим результатам можно получить следующий интересный результат. Решая уравнение (3.266) относительно и подставляя решение в (3.265а), получим.

Это показывает, что характеристические числа замкнутой системы в установившемся состоянии являются диагональными элементами матрицы Поскольку известно, что замкнутая система асимптотически устойчива, диагональные элементы матрицы имеют строго отрицательные вещественные части. Так как эти характеристические числа получаются из характеристических чисел матрицы это означает, что не может иметь характеристических чисел с нулевой вещественной частью, а характеристическими числами замкнутой системы в установившемся состоянии являются характеристические числа с отрицательными вещественными частями [108]. Подытожим эти выводы следующим образом.

Теорема 3.8. Рассмотрим задачу построения детерминированного линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами и предположим, что пара является стабилизируемой и восстанавливаемой, а пара обнаруживаемой.

Определим матрицу размером

и предположим, что имеет различных характеристических чисел. Тогда

а) Если — характеристическое число матрицы то также является характеристическим числом. Матрица не имеет характеристических чисел с нулевыми вещественными частями.

б) Характеристические числа оптимального замкнутого регулятора в установившемся состоянии являются характеристическими числами с отрицательными вещественными частями.

в) Если матрица диагонализирована в форме

где диагональная матрица имеет в качестве диагональных

элементов характеристические числа с положительными вещественными частями, то установившееся решение уравнения Риккати (3.215) можно записать в виде

где получаются путем разделения матриц соответственно. В обоих выражениях существует обратная матрица.

г) Реакцию замкнутого регулятора в установившемся состоянии можно записать в виде

Метод диагонализации, рассмотренный в настоящем разделе, далее развивается в задачах 3.11.8-3.11.12.