4.3. Оптимальные наблюдатели
4.3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ НАБЛЮДЕНИЯ
В разд. 4.2 было дано определение наблюдателя. Однако, как было показано, при выборе наблюдателя для заданной системы матрица коэффициентов усиления к определяется более или менее произвольно. В данном разделе представлены методы определения оптимцлъной матрицы коэффициентов усиления. С этой целью необходимо ввести специальное предположение, касающееся аозмугцений и ошибок наблюдения, которые имеют место в наблюдаемой
системе. Затем можно будет определить, в каком смысле наблюдатель должен быть оптимальным.
Предполагается, что уравнения реальной системы имеют вид
Здесь через 
обозначен шум, возбуждающий состояние, а через 
— шум наблюдений или измерений. Предполагается также, что совокупный процесс 
можно описать как белый шум с плотностью
т. е.
Если 
то шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений некоррелированы. Ниже (в разд. 4.3.5) будет рассмотрен случай, когда 
могут и не представляться в виде белого шума. Особый интерес представляет случай
Это предположение по существу означает, что все компоненты наблюдаемой переменной возмущаются белым шумом и невозможна извлечь из 
информацию, которая не содержала бы белого шума. Если это условие удовлетворяется, то назовем задачу восстановления состояний системы (4.62) несингулярной (невырожденной).
Наконец, примем обозначения
Предположим теперь, что наблюдатель полного порядка вида
соответствует системе (4.62). Тогда ошибка восстановления определяется выражением
Среднее значение квадрата ошибки восстановления
с заданной положительно определенной матрицей 
является показателем того, насколько успешно наблюдатель восстанавливает состояние системы в момент времени 
Средняя квадратическая ошибка восстановления определяется путем выбора 
и матрицы 
Задача оптимального выбора этих величин называется задачей оптимального наблюдения (задачей построения оптимального наблюдателя).
Определение 4.3. Рассмотрим систему
Здесь 
— белый шум с интенсивностью 
Кроме того, начальное состояние 
не коррелировано с 
а 
— заданное входное воздействие в системе. Рассмотрим наблюдатель
Тогда задача определения матричной функции 
и начального условия 
таким образом, чтобы минимизировалось выражение
где
и где 
— положительно определенная симметрическая весовая матрица, называется задачей оптимального наблюдения. Если
то задача оптимального наблюдения называется несингулярной.
В разд. 4.3.2 исследуется несингулярная задача оптимального наблюдения, в которой предполагается, что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений являются некоррелированными.
В разд. условие некоррелированности снимается, а в разд. 4.3.4 рассматривается сингулярная задача.
