1.3.3. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ
Точная форма переходной матрицы системы с постоянными параметрами может быть получена с помощью диагонализации матрицы А. Известен следующий результат [133].
Теорема 1.5. Предположим, что постоянная 
матрица А имеет различные характеристические числа 
Пусть 
— соответствующие собственные векторы. Определим, 
-матрицы
Тогда Т является неособой и А может быть представлена как
Здесь в уравнении (1.77а) векторы 
являются столбцами матрицы Т, а в уравнении (1.776) 
— диагональная матрица, где 
— диагональные элементы. В этом случав говорят, что Т диагонализирует А.
Кроме того, нетрудно убедиться в следующем факте.
Теорема 1.6. Рассмотрим матрицу А, которая удовлетворяет допущениям теоремы 1.5. Тогда
Этот результат упрощает вычисления 
если матрица А. диагонализирована. Поучительно представить тот же результат в иной форме.
Теорема 1.7. Рассмотрим систему с постоянными параметрами
где А удовлетворяет допущениям теоремы 1.5. Запишем матрицу 
в форме
т. е. векторы-строки 
являются строками матрицы 
Тогда решение (1.81) при 
может быть записано в виде
Это можно показать, выражая 
Через 
Запишем (1.83) в виде
где 
— скаляры 
. Отсюда видно, что реакция системы (1.81) является комбинацией движений по собственным векторам матрицы А. Назовем такое движение модой системы: Каждая мода, имеющая компоненты по соответствующим собственным векторам, возбуждается соответствующим выбором начального состояния.
Очевидно, что характеристические числа 
в значительной степени определяют поведение системы. Часто эти числа называют полюсами системы.
Даже в случае кратных характеристических чисел матрица А может быть диагонализирована при условии, что число линейно независимых собственных векторов для каждого характеристического числа равно кратности характеристического числа. Более сложный случай, когда матрица А не может быть диагонализирована, обсуждается в разд. 1.3.4.
Пример 1.4. Перевернутый маятник.
Однородное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению состояния маятниковой системы из примера 1.1, имеет вид
Характеристические числа и собственные векторы матрицы А выражаются следующим образом:
где
и по предположению знаменатель а отличен от нуля. Матрица Т и обратная ей имеют вид
Модами системы являются
Первая мода показывает безразличие системы по отношению к горизонтальным перемещениям, тогда как третья мода иллюстрирует неустойчивый характер перевернутого маятника.
