5.6. Чувствительность оптимальных линейных систем управления с постоянными параметрами

В гл. 3, разд. 3.9, было показано, что линейные оптимальные системы управления с обратной связью по состоянию и постоянными параметрами нечувствительны к возмущениям и изменениям параметров в том смысле, что матрица возвратной разности полученная путем размыкания контура обратной связи по состоянию, удовлетворяет неравенству в форме

где — весовая матрица

В этом разделе показывается, что оптимальные системы с обратной связью по выходной переменной в общем случае не обладают таким свойством, хотя могут быть весьма близки к нему.

Рис. 5.11. Упрощенная схема системы управления с обратной связью по выходной переменной.

Рассмотрим систему с постоянными параметрами

где — белый шум с постоянной интенсивностью Наблюдаемая переменная определяется уравнением

где — белый шум, коррелированный с с постоянной интенсивностью Управляемая переменная имеет вид

а критерий оптимальности описывается выражением

где — симметрические постоянные положительно определенные весовые матрицы.

Для упрощения анализа предположим, что управляемая переменная является также наблюдаемой переменной (без учета шума наблюдений), т. е. Тогда систему управления можно схематически представить, как на рис. 5.11, где наблюдатель и закон управления объединены в регулятор. Рассмотрим теперь установившийся регулятор, который получается, если положить

Тогда установившийся наблюдатель описывается уравнением

где К — матрица коэффициентов усиления установившегося наблюдателя. Преобразование Лапласа для уравнения (5.201) и решение относительно преобразования для дает

где — преобразования Лапласа для и соответственно. Полагается, что все начальные условия равны нулю. Для входного воздействия имеем (через преобразование Лапласа)

где — установившаяся матрица коэффициентов усиления обратной связи. Подстановка (5.203) в (5.202) и решение для дают

где

Рассмотрим теперь матрицу возвратной разности

для системы управления, где

есть передаточная матрица объекта. В общем случае не существует такой неотрицательно определенной весовой матрицы для которой неравенство вида

удовлетворяется при всех вещественных частотах со. Действительно, легко доказать (см. задачу 5.6), что в случае системы с одним входом и одним выходом неравенство (5.208) никогда не удовлетворяется при всех значениях со, если Конечно, неравенство (5.208) должно удовлетворяться в некотором рациональном диапазоне частот, согласованном с частотным диапазоном возмущений, действующих на объект; так как из оптимальности регулятора следует, что влияние заданных возмущений, на которые рассчитана система управления, ослабляется.

Докажем теперь, что при определенных условиях выполнение

неравенства (5.208) на всех частотах можно получить асимптотически. Рассмотрим алгебраическое уравнение Риккати

которое необходимо решить, чтобы получить коэффициент регулирования Предположим, что

где — положительный скаляр, положительно определенная матрица. Тогда из теоремы 3.14 (разд. 3.8.3) следует, что если , а передаточная матрица разомкнутой системы имеет нули только с положительными вещественными частями, то прир желаемое решение Р уравнения (5.209) приближается к нулевой матрице. Это означает, что

или

Теперь общее решение матричного уравнения , где X и М имеют одинаковую размерность, можно записать в форме где является произвольной унитарной матрицей, т. е. удовлетворяет условию Поэтому на основании выражения (5.212) делаем вывод, что при матрица коэффициентов усиления стремится к

В результате имеем

при . Нетрудно доказать, что

Из этого следует, что для системы со структурой, представленной на рис. 5.11, при матрица возвратной разности

где

Получим теперь неравенство для асимптотической матрицы возвратной разности Установившаяся матрица дисперсий Q

удовлетворяет алгебраическому решению уравнения Риккати

в предположении, что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений некоррелированы, а дифференциальное уравнение Риккати имеет установившееся решение. Проделаем теперь процедуры, подобные описанным в разд. 3.9, где рассматривался вопрос о чувствительности регулятора с обратной связью по состоянию. Прибавляя и вычитая и проводя преобразования, получаем

Предварительное умножение на и последующее умножение на дают

Прибавляя и вычитая член это выражение можно преобразовать к виду

На основании устанавливаем, что это выражение является, равенством

Подставляя получаем, что второй член в правой части представляет собой неотрицательно определенную эрмитову матрицу. Таким образом, имеем

Из теоремы 2.2 (разд. 2.10) следует, что

где — асимптотическая, матрица чувствительности

Имеем также

Получаем, таким образом, следующий результат [104].

Теорема 5.5. Рассмотрим установившийся стохастический оптимальный регулятор с обратной связью по выходной переменной и постоянными параметрами. Предположим, что наблюдаемая переменная является также управляемой переменной, т. е.

Предположим также, что шум возбуждающий состояние, и шум наблюдений некоррелированы, задача наблюдений является несингулярной, т. е. и установившийся регулятор с обратной связью по выходной переменной асимптотически устойчив. Тогда, если и передаточная матрица разомкнутой системы не имеет нулей в правой полуплоскости, матрица обратной разности замкнутой системы асимптотически достигает при где

и К — установившаяся матрица коэффициентов усиления наблюдателя. Асимптотическая матрица возвратной разности удовлетворяет соотношению

Асимптотическая матрица возвратной разности и ее обращение, асимптотическая матрица чувствительности удовлетворяют неравенствам

Эта теорема устанавливает, что асимптотически матрица чувствительности системы регулирования с обратной связью по выходной переменной удовлетворяет неравенству в форме (5.196), которое означает, что в асимптотической системе управления возмущения всегда уменьшаются в сравнении с эквивалентной установившейся разомкнутой системой управления независимо от Матрицы спектральной плотности возмущений. Это также означает, что асимптотическая система управления уменьшает влияние всех (достаточно малых) изменений характеристик объекта в отличие от разомкнутой установившейся эквивалентной системы.

Целесообразно отметить следующее:

а) Весовая матрица в критерии чувствительности равна Это неудивительно. Предположим для простоты, что матрица

является диагональной. Тогда, если один из диагональных элементов матрицы мал, соответствующая компонента наблюдаемой переменной может быть измерена точно. Это означает, что в соответствующем контуре с обратной связью коэффициент усиления может быть большим и будет оказываться значительное влияние на подавление возмущений и изменение характеристик объекта по этой выходной переменной, следствием чего будет большой весовой коэффициент в критерии чувствительности.

б) Вышеуказанная теорема несправедлива для систем, которые имеют нули в правой полуплоскости.

в) В практических случаях невозможно выбрать матрицу очень малой. Это означает, что критерий чувствительности нарушается в определенном диапазоне частот. Примеры показывают, что такой случай является типичным для области высоких частот. Следует ожидать, что уменьшение чувствительности не будет очень большим, если матрица выбирается настолько малой, что удаленные полюса регулятора находятся на большем расстоянии от начала координат, чем полюса наблюдателя.

г) Правую часть соотношения (5.228) можно оценить непосредственно, без решения уравнений Риккати. Это соотношение можно использовать для исследования поведения матрицы возвратной разности, в частности, в случае системы с одцим входом и с одним выходом.

д) Можно показать [104], что результат, подобный теореме 5.5, справедлив, когда

т.е. включает управляемую переменную

Пример 5.7. Система управления положением

Рассмотрим снова систему управления положением, описываемую дифференциальным уравнением состояния

Здесь — белыйшум с интенсивностью Наблюдаемая переменная равна

где — белый шум с интенсивностью Управляемая переменная записывается в виде

Система удовлетворяет условиям теоремы 5.5, так как управляемая

Рис. 5.12. Асимптотические диаграммы Боде для функции чувствительности системы управления положением

переменная является наблюдаемой переменной и предполагается, что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений некоррелированы, а передаточная функция разомкнутой системы

не имеет нулей в правой части. Чтобы вычислить асимптотическую возвратную разность рассмотрим соотношение (5.228), из которого получим

Подстановка дает соотношение

или

откуда видно, что Для всех вещественных значений .

На рис. 5.12 приведена асимптотическая диаграмма Боде которая показывает, что предельный регулятор обеспечивает противодействие всем возмущениям и изменению параметров вплоть до частоты При численных значениях

частота срыва составляет

Диапазон частот, в котором обеспечивается противодействие возмущениям, уменьшается, когда весовой коэффициент в крите-,

выбирается больше нуля. Разумно предположить, что подавление возмущений остается эффективным, пока частота срыва регулятора гораздо больше частоты срыва наблюдателя. Поскольку частота срыва регулятора (пример 5.3, разд. 5.3.2) равна то приходим к заключению, что при коэффициент должен быть равен или меньше (для этой величины частота срыва регулятора равна Можно вычислить, используя теорему 5.4 (разд. 5.3.2), что при такой величине имеем

Из этого следует, что среднеквадратическая величина входного напряжения ограничена значением

которое является вполне приемлемой величиной, когда допускаются амплитуды входной переменной до 100 В. Можно вычислить, что функция чувствительности установившегося регулятора для этой величины определяется выражением

Асимптотическая диаграмма Боде приведена также на рис. 5.12 и сравнивается с диаграммой дляр Видно, что частота среза при ослаблении возмущений смещается с 30 до тогда как возмущения в диапазоне частот рад/с несколько увеличиваются. Выбирая меньше можно точнее аппроксимировать асимптотическую функцию чувствительности.

При помощи методов разд. 5.5.1 легко построить оптимальный регулятор с ненулевой заданной точкой для этой системы. На рис. 5.13 приведена реакция системы управления с обратной связью. по выходной переменной при ненулевой заданной точке на ступенчатое изменение заданной точки 0,1 рад по угловому положению из нулевых начальных условий для номинальных значений параметров, а также для двух групп неноминальных значений. Здесь, как и в примере 3.25 (разд. 3.9), предполагается, что неноминальные

Рис. 5.13. Влияние изменения параметров на реакцию системы управления положением с обратной связью по выходной переменной. а — номинальная нагрузка; б - 2/3 номинальной нагрузки; в - 3/2 номинальной нагрузки.

значения констант объекта а и х обусловлены изменениями инерционной нагрузки двигателя постояного гока. Видно, что влияние изменения параметров является умеренным.