6.2.6. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Естественным эквивалентом преобразования Лапласа для непрерывных переменных является z-преобразование для дискретных последовательностей. Определим z-преобразование

последовательности векторов в виде

где z — комплексная переменная. Это преобразование определяется для тех значений для которых сумма сходится.

Для иллюстрации применения z-преобразования к анализу линейных дискретных систем с постоянными параметрами рассмотрим разностное уравнение состояния

Умножение обеих частей уравнения (6.63) и суммирование по дает

где - z-преобразование переменной — преобразование Решая относительно , получаем

При вычислении может оказаться полезным алгоритм Леверье (теорема 1.18, разд. 1.5.1). Предположим, что выходная переменная определяется как

Преобразование этого выражения и подстановка (6.65) при дают в результате

где

есть матричная z-передаточная функция системы.

Для вычисления обратного преобразования z-преобразованных выражений существует несколько методов, которые читатель может найти в соответствующей литературе [156].

Нетрудно доказать, что матричная z-передаточная функция системы является z-преобразованием матричной импульсной переходной функции системы. Пусть — матричная импульсная переходная функция системы с постоянными параметрами. Тогда

Заметим, что обычно записывается в форме

где — матричный полином по . Очевидно, что полюса матричной передаточной функции являются характеристическими числами матрицы А, если член вида не сокращается во всех элементах матрицы где — характеристическое число матрицы А.

Так же, как и в разд. 1.5.3, для случая, когда является квадратной матрицей, имеем

где — характеристический полином — полином по Корни полинома назовем нулями системы.

Частотную характеристику дискретной системы удобно исследовать с помощью матричной z-передаточной функции. Предположим, что имеем комплексную входную переменную вида

где . Назовем величину нормированной угловой частотой? Попытаемся сначала найти частное решение разностного уравнения состояния (6.63) в виде

Нетрудно установить, что это частное решение описывается выражением

Общее решение однородного разностного уравнения имеет вид

где а — произвольный постоянный вектор. Общее решение неоднородного разностного уравнения состояния, следовательно, определяется выражением

Если система асимптотически устойчива, то первый член при стремится к нулю; тогда второй член соответствует установившейся реакции состояния на входную переменную (6.72). Соответствующая установившаяся реакция выходной переменной

(6.66) определяется выражением

где — матричная передаточная функция системы.

Видно, что реакция системы на входную переменную вида (6.72) определяется поведением матричной z-передаточной функции при значениях z на единичной окружности. Установившиеся реакции на действительные «синусоидальные» входные переменные, т. е. входные переменные вида

могут быть определены с помощью модулей и аргументов элементов матрицы Установившаяся реакция асимптотически устойчивой дискретной системы с матричной -передаточной функцией на постоянную входную переменную

описывается выражением

В особом случае, когда дискретная система является эквивалентом непрерывной системы с фиксатором нулевого порядка и импульсным элементом, положим

где А — период дискретности. Гармоническая входная переменная

является дискретным апалогом непрерывной гармонической функции

из которой функция (6.82) получается дискретизацией в равноотстоящие моменты времени со скоростью повторения

При существенно малых значениях угловой частоты частотная характеристика дискретного аналога системы приближается к матричной частотной характеристике непрерывной системы. Заметим, что является периодической по с периодом Это вызвано стробоскопическим эффектом; из-за процедуры дискретизации высокочастотные сигналы не отличимы от низкочастотных сигналов.

Пример 6.6. Цифровая система управления положением

Рассмотрим цифровую систему управления положением из

Рис. 6.6. Частотные характеристики непрерывной и дискретной систем управления положением.

примера 6.2 (разд. 6.2.3) и предположим, что в качестве выходной переменной выбрано положение:

Нетрудяо найти, что -передаточная функция равна

На рис. 6.6 показаны графики модуля и аргумента функции где . На том же рисунке показаны соответствующие графики частотной характеристики исходной непрерывной системы, которая описывается выражением

Можно видеть, что в области низких частот (до частотные характеристики непрерывной и дискретной систем близки по модулю, одпако дискретный аналог имеет больший сдвиг по фазе. Графики также иллюстрируют стробоскопический эффект.