3.7. Системы регулирования и следящие системы с ненулевыми заданными точками и постоянными возмущениями

3.7.1. НЕНУЛЕВЫЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

При рассмотрении задач регулирования и слежения до сих пор предполагалось, что нулевое состояние всегда является желаемым равновесным состоянием системы. На практике, однако, почти во всех случаях желаемое равновесное состояние, которое будем называть заданной точкой пространства состояний, характеризуется постоянной точкой, не совпадающей с началом координат. Такое отличие можно исключить, если сместить начало координат пространства состояний в эту точку. Так, обычно и поступали в рассмотренных примерах. В настоящем разделе, однако, будет рассмотрен случай, когда заданная точка не является фиксированной, т. е. предполагается, что заданная точка постоянна на длительных интервалах времени, но время от времени она смещается. Такая ситуация на практике является типовой.

Ограничимся анализом системы с постоянными параметрами. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, описываемую дифференциальным уравнением состояния

где управляемая переменная определяется выражением

Предположим, что заданная точка управляемой переменной есть . Тогда для того, чтобы привести систему в эту точку, необходимо определить постоянное входное воздействие которое удерживает состояние в точке так что [52]

Из дифференциального уравнения состояния следует, что должны быть связаны соотношением

Может ли быть система переведена в заданную точку, зависит от того, можно ли решить соотношения (3.407) и (3.408) относительно для заданного . К этому вопросу мы еще вернемся, а сейчас предположим, что решение существует. Определим смещенное входное воздействие, смещенное состояние и смещенную управляемую переменную соответственно:

Решая эти уравнения относительно подставляя полученный результат в дифференциальное уравнение состояния (3.405) и уравнение для выходной переменной (3.406) и используя (3.407) и (3.408), нетрудно установить, что смещенные переменные удовлетворяют уравнениям

Предположим теперь, что в определенный момент времени заданная точка скачком смещается. Тогда в параметрах смещенных уравнений (3.410) система приобретает ненулевое начзльное состояние. Для того чтобы система достигла новой заданной точки регулярным образом, предлагается оказывать такое воздействие на переходный процесс, чтобы достигал минимума критерий оптимальности

Предположим, что смещенная задача регулирования имеет установившееся решение в форме асимптотически устойчивого установившегося закона управления с постоянной настройкой

Использование этого закона управления гарантирует, что (в параметрах исходной системы) система переходит в новую заданную точку с максимальной скоростью и без чрезмерно больших амплитуд входного воздействия.

Посмотрим теперь, какую форму принимает закон управления в параметрах исходной системы. Из уравнений (3.412) и (3.409) получаем

Отсюда следует, что закон управления имеет вид

где необходимо опрзчелить постоянный вектор таким образом, чтобы в установившемся состоянии управляемая переменная

достигала заданной величины . Рассмотрим вопрос о том, при каких условиях можно найти

Подстановка выражения (3.414) в дифференциальное уравнение системы дает

Так как замкнутая система асимптотически устойчива, то при состояние достигает установившихся значений которые удовлетворяют уравнению

Введем обозначения

Поскольку замкнутая система асимптотически устойчива, все характеристические числа матрицы А находятся в левой области комплексной плоскости, и поэтому А несингулярна. Тогда уравнение (3.416) можно решить относительно

Для достижения заданной точки управляемой переменной необходимо, чтобы выполнялось условие

При решении уравнения относительно с заданной величиной необходимо выделить три случая.

а) Размерность z больше, чем . Тогда (3.419) решается только для отдельных значений а общее решение не существует. В этом случае следует пытаться управлять переменной при меньшей размерности входного воздействия Поскольку имеется слишком мало степеней свободы, неудивительно, что для общего случая решение найти нельзя.

б) Размерности одинаковы, т. е. имеется достаточное число степеней свободы для управления системой. В этом случае (3.419) можно решить относ тельно при условии, что матрица несингулярна. Находим выражение

которое определяет оптимальное входное воздействие для системы слежения

в) Размерность z меньше, чем и. В этом случае существует слишком

много степеней свободы и (3.419) имеет много решений. Можно выбрать одно из этих решений, однако более рационально заново сформулировать задачу слежения, добавляя компоненты в управляемую переменную.

На основе этих соображений будем впредь предполагать, что

т. е. имеет место случай (б). Получаем

где

Назовем матричной передаточной функцией (передаточной матрицей) замкнутой системы, поскольку она является матрицей перехода от для системы

Оптимальный закон управления (3.421) можно записать через в следующем виде:

Как было показано, этот закон управления обладает тем свойством, что после ступенчатого изменения заданной точки система переводится в новую заданную точку с максимально возмояшой быстротой без чрезмерно больших амплитуд входного воздействия. Кроме того, этот закон управления, конечно, возвращает систему в заданную точку из любого начального состояния оптимальным образом. Назовем (3.426) оптимальным законом управления при ненулевой заданной точке. Этот закон обладает тем свойством, что статически разделяет систему управления, т. е. передаточная матрица от заданной точки к управляемой переменной z удовлетворяет условию

Рассмотрим теперь вопрос, при каких условиях имеет обратную матрицу. Покажем, что это свойство можно выяснить непосредственно из уравнений разомкнутой системы

Рассмотрим следующую цепь равенств:

Здесь дважды используем лемму 1.1 (разд. 1.5.3). Полином определяется выражением

где — передаточная матрица разомкнутой системы

— характеристический полином разомкнутой системы

Наконец, — характеристический полином замкнутой системы

Из (3.428) видно, что нули передаточной матрицы замкнутой системы такие же, как и у передаточной матрицы разомкнутой системы. Видно также, что определитель

равен нулю тогда и только тогда, когда Таким образом, условие гарантирует, что матрица несингулярна; следовательно, закон управления при ненулевой заданной точке существует. Эти результаты можно суммировать в следующем виде.

Теорема 3.10. Рассмотрим систему с постоянными параметрами

где z и u имеют одинаковую размерность. Рассмотрим некоторый асимптотически устойчивый закон управления с постоянной настройкой

Обозначим через передаточную матрицу разомкнутой системы

а через — передаточную матрицу замкнутой системы

Матрица является несингулярной, а величина управляемой переменной при установившихся условиях может поддерживаться равной с помощью

тогда и только тогда, когда является полиномом с ненулевым числителем, который не имеет нулей в начале координат.

Отметим, что эта теорема формулируется для любого асимптотически устойчивого закона управления, а не только для установившегося оптимального закона управления.

В этом разделе были рассмотрены только детерминированные задачи регулирования. В стохастических задачах регулирования (включая задачи слежения), конечно, также могут быть ненулевые заданные точки. Теория, рассмотренная в этом разделе, используется для стохастических задач регулирования без модификации. Оптимальный закон управления для стохастического регулятора при ненулевой заданной точке также определяется выражением

Пример 3.15. Система управления положением

Рассмотрим систему управления положением из примера 3.4 (разд. 3.3.1). В примере 3.8 (разд. 3.4.1) был получен оптимальный установившийся закон управления. Нетрудно определить на основе результатов примера 3.8, что передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Из (3.435) и (3.438) следует, что оптимальный закон управления

при ненулевой заданной точке определяется выражением

где — заданная точка для углового положения. Это выражение точно совпадает с законом управления (3.171), который был получен в примере 3.8 из элементарных соображений.

Пример 3.16. Смесительный бак

В качестве примера многомерной системы регулирования рассмотрим задачу регулирования смесительного бака из примера 3.9 (разд. 3.4.1). При где определяется так же, как в примере 3.9, задача регулирования приводит к определению матрицы установившихся коэффициентов усиления обратной связи:

Нетрудно установить, что соответствующая передаточная матрица замкнутой системы определяется выражением

Из оптимального закона управления при ненулевой заданной точке можно найти

На рис. 3.16 показана реакция замкнутой системы на ступенчатые изменения элементов заданной точки Здесь заданная точка для выходного потока изменяется на что составляет 10% номинальной величины, тогда как для выходной концентрации заданная точка изменяется на что соответствует 8% номинальной величины. Заметим, что в системе управления проявляется в некоторой степени динамическое взаимовлияние, или взаимосвязь, т. е. изменение заданной точки по одной из компонент управляемой переменной непосредственно влияет на другую компоненту. Однако это влияние невелико.

Рис. 3.16. Реакции смесительного бака как системы регулирования с ненулевой заданной 4 точкой. Слева — реакции по приращению расхода и концентрации выходного потока на ступенчатое изменение расхода справа — реакции по приращению расхода и концентрации на ступенчатое изменение концентрации