Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.7. Системы регулирования и следящие системы с ненулевыми заданными точками и постоянными возмущениями3.7.1. НЕНУЛЕВЫЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИПри рассмотрении задач регулирования и слежения до сих пор предполагалось, что нулевое состояние всегда является желаемым равновесным состоянием системы. На практике, однако, почти во всех случаях желаемое равновесное состояние, которое будем называть заданной точкой пространства состояний, характеризуется постоянной точкой, не совпадающей с началом координат. Такое отличие можно исключить, если сместить начало координат пространства состояний в эту точку. Так, обычно и поступали в рассмотренных примерах. В настоящем разделе, однако, будет рассмотрен случай, когда заданная точка не является фиксированной, т. е. предполагается, что заданная точка постоянна на длительных интервалах времени, но время от времени она смещается. Такая ситуация на практике является типовой. Ограничимся анализом системы с постоянными параметрами. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, описываемую дифференциальным уравнением состояния
где управляемая переменная определяется выражением
Предположим, что заданная точка управляемой переменной есть
Из дифференциального уравнения состояния следует, что
Может ли быть система переведена в заданную точку,
Решая эти уравнения относительно
Предположим теперь, что в определенный момент времени заданная точка скачком смещается. Тогда в параметрах смещенных уравнений (3.410) система приобретает ненулевое начзльное состояние. Для того чтобы система достигла новой заданной точки регулярным образом, предлагается оказывать такое воздействие на переходный процесс, чтобы достигал минимума критерий оптимальности
Предположим, что смещенная задача регулирования имеет установившееся решение в форме асимптотически устойчивого установившегося закона управления с постоянной настройкой
Использование этого закона управления гарантирует, что (в параметрах исходной системы) система переходит в новую заданную точку с максимальной скоростью и без чрезмерно больших амплитуд входного воздействия. Посмотрим теперь, какую форму принимает закон управления в параметрах исходной системы. Из уравнений (3.412) и (3.409) получаем
Отсюда следует, что закон управления имеет вид
где необходимо опрзчелить постоянный вектор достигала заданной величины Подстановка выражения (3.414) в дифференциальное уравнение системы дает
Так как замкнутая система асимптотически устойчива, то при
Введем обозначения
Поскольку замкнутая система асимптотически устойчива, все характеристические числа матрицы А находятся в левой области комплексной плоскости, и поэтому А несингулярна. Тогда уравнение (3.416) можно решить относительно
Для достижения заданной точки управляемой переменной
При решении уравнения относительно а) Размерность z больше, чем б) Размерности
которое определяет оптимальное входное воздействие для системы слежения
в) Размерность z меньше, чем и. В этом случае существует слишком много степеней свободы и (3.419) имеет много решений. Можно выбрать одно из этих решений, однако более рационально заново сформулировать задачу слежения, добавляя компоненты в управляемую переменную. На основе этих соображений будем впредь предполагать, что
т. е. имеет место случай (б). Получаем
где
Назовем
Оптимальный закон управления (3.421) можно записать через
Как было показано, этот закон управления обладает тем свойством, что после ступенчатого изменения заданной точки Рассмотрим теперь вопрос, при каких условиях
Рассмотрим следующую цепь равенств:
Здесь дважды используем лемму 1.1 (разд. 1.5.3). Полином
где
Наконец,
Из (3.428) видно, что нули передаточной матрицы замкнутой системы такие же, как и у передаточной матрицы разомкнутой системы. Видно также, что определитель
равен нулю тогда и только тогда, когда Теорема 3.10. Рассмотрим систему с постоянными параметрами
где z и u имеют одинаковую размерность. Рассмотрим некоторый асимптотически устойчивый закон управления с постоянной настройкой
Обозначим через
а через
Матрица
тогда и только тогда, когда Отметим, что эта теорема формулируется для любого асимптотически устойчивого закона управления, а не только для установившегося оптимального закона управления. В этом разделе были рассмотрены только детерминированные задачи регулирования. В стохастических задачах регулирования (включая задачи слежения), конечно, также могут быть ненулевые заданные точки. Теория, рассмотренная в этом разделе, используется для стохастических задач регулирования без модификации. Оптимальный закон управления для стохастического регулятора при ненулевой заданной точке также определяется выражением
Пример 3.15. Система управления положением Рассмотрим систему управления положением из примера 3.4 (разд. 3.3.1). В примере 3.8 (разд. 3.4.1) был получен оптимальный установившийся закон управления. Нетрудно определить на основе результатов примера 3.8, что передаточная функция замкнутой системы имеет вид
Из (3.435) и (3.438) следует, что оптимальный закон управления при ненулевой заданной точке определяется выражением
где Пример 3.16. Смесительный бак В качестве примера многомерной системы регулирования рассмотрим задачу регулирования смесительного бака из примера 3.9 (разд. 3.4.1). При
Нетрудно установить, что соответствующая передаточная матрица замкнутой системы определяется выражением
Из оптимального закона управления при ненулевой заданной точке можно найти
На рис. 3.16 показана реакция замкнутой системы на ступенчатые изменения элементов заданной точки
Рис. 3.16. Реакции смесительного бака как системы регулирования с ненулевой заданной 4 точкой. Слева — реакции по приращению расхода и концентрации выходного потока на ступенчатое изменение расхода
|
1 |
Оглавление
|