6.2.11. ДИСКРЕТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В настоящем разделе очень кратко рассматриваются дискретные векторные стохастические процессы; так называются бесконечные последовательности стохастических векторных переменных вида Дискретные векторные стохастические процессы могут быть охарактеризованы с помощью совместных распределений вероятностей

для всех действительных для всех целых и всех целых .

Если

для всех действительных всех целых и любых целых , то процесс называется стационарным. Если всё совместные распределения являются многомерными гауссовскими распределениями, процесс называется гауссовским.

Введем далее следующие определения.

Определение 6.12. Рассмотрим дискретный векторный стохастический процесс Назовем

средним значением процесса,

матрицей сметанных моментов второго порядка

ковариагионной матрицей процесса,

матрицей дисперсий, матрицей моментов второго порядка процесса.

Если процесс стационарный, то его среднее и матрица дисперсий не зависят от , а его матрица смешанных моментов и ковариационная матрица зависят только от . Процесс, который не является стационарным, но характеризуется постоянным средним значением и имеет конечную для всех матрицу моментов второго порядка, а его матрица смешанных моментов второго порядка и ковариационная матрица зависят только от называется стационарным в широком смысле.

Для дискретных процессов, стационарных в широком смысле, дадим следующее определение.

Определение 6.13. Матрица спептральныжплотностей дискретного процесса стационарного в широком смысле, если она существует, определяется в виде

где — ковариационная матрица процесса,

Название «матрица спектральных плотностей» не означает тесной связи с так же называемой матричной функцией для непрерывных стохастических процессов. Следующий факт поясняет это.

Теорема 6.20. Пусть — дискретный, стационарный в широком смысле стохастический процесс с нулевым средним и матрицей спектральных плотностей Тогда

Нестрогое доказательство состоит в следующем. Напишем

поскольку

Матрицы спектральных плотностей особенно полезны при анализе реакции линейных дискретных систем с постоянными параметрами, если входной переменной является реализация дискретного стохастического процесса.

Теорема 6.21. Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную дискретную систему с постоянными параметрами и матричной z-передаточной функцией Пусть входной переменной системы является реализация стационарного в широком смысле дискретного стохастического процесса и с матрицей спектральных плотностей 2 и который воздействует, начиная с момента времени Тогда выходная переменная у является реализацией стационарного в широком смысле дискретного стохастического процесса с матрицей спектральных плотностей

Пример 6.7. Последовательность взаимно некоррелированных переменных

Предположим, что стохастический процесс состоит из последовательности взаимно некоррелированных векторных стохастических переменных с нулевыми средними и постоянной матрицей дисперсий . Тогда ковариационная матрица процесса определяется в виде

Это стационарный в широком смысле процесс, матрица спектральных плотностей которого равна

Этот процесс является дискретным эквивалентом белого шума.

Пример 6.8. Экспоненциально коррелированный шум

Рассмотрим скалярный стационарный в широком смысле дискретный стохастический процесс с ковариационной функцией

Здесь А — период дискретности, постоянная времени процесса. Нетрудно найти, что функция спектральной плотности имеет вид