1.5.5. КОРНЕВОЙ ГОДОГРАФ

Из предыдущего раздела следует, что иногда представляет интерес построение на комплексной плоскости годографа корней выражения вида

где — полиномы от при изменении скалярного параметра

В настоящем разделе приводятся некоторые правила, относящиеся к построению годографа, которые позволяют определять некоторые специальные точки годографа и, в частности, асимптотическое поведение. Эти правила позволяют довольно легко вычертить годограф для простых задач; в более сложных задачах для вычисления корневого годографа совершенно необходимо использование ЦВМ. Мелса [127] приводит ФОРТРАН-программу для вычисления корневого годографа.

Примем, что полиномы имеют следующий вид:

где — полюса разомкнутого контура, — его нули. Корни (1.262) назовем полюсами замкнутого контура. Объяснение этим терминам можно найти в разд. 1.5.4. Предположим, что . Это не является ограничением, так как при функции можно поменять ролями, выбрав в качестве параметра

Приведем следующие основные свойства корневого годографа.

а) Число корней.

Число корней выражения (1.262) равно Каждый из корней имеет свой непрерывный годограф при изменении от до .

б) Начало годографа.

Годограф берет начало для в полюсах . Это вытекает из того факта, что при корни (1.262) являются корнями

в) Поведение годографа

При годографов приближается к нулям . Остальные годографов стремятся к бесконечности.

Это следует из того, что корни (1.262) также являются кррнями выражения

г) Асимптоты годографов.

Указанные годографов, стремящихся к бесконечности, асимптотически приближаются к прямым, которые составляют углы

с положительной действительной осью при и углы

при Эти асимптот пересекаются в одной точке на действительной оси, определяемой выражением

Отмеченные свойства объясняются следующим образом. Для больших выражение (1.262) можно приближенно заменить выражением

Корни этого полинома

дают первое приближение в определении истинных корней. Более точный анализ показывает, что лучшее приближение дает выражение

Это подтверждает перечисленные выше свойства асимптотического поведения.

д) Части корневого годографа на действительной оси.

Если предположить, что принимает только положительные значения, любая часть действительной оси, справа от которой располагается нечетное количество полюсов и нулей на действительной оси, является частью корневого годографа. Если принимает только отрицательные значения, то любая часть действительной оси, справа от которой на действительной оси лежит четное число полюсов и нулей, является частью корневого годографа. Это можно показать следующим образом. Корни выражения (1.262) могут быть найдены из решения уравнения

Если предположить, что положительное, то уравнение (1.271) эквивалентно действительным уравнениям

где — произвольное целое число. Если — действительное число, то всегда существует для которого (1.272) удовлетворяется. Чтобы удовлетворялось также уравнение (1.273), должно быть нечетное число нулей и полюсов справа от Подобные рассуждения справедливы и для случая отрицательного

Могут быть установлены также некоторые другие свойства корневых годографов, облегчающие их построение [49], однако мы

Рис. 1.8. Корневые годографы перевернутого маятника.

X полюса разомкнутого контура; О нуль разомкнутого контура.

ограничимся перечисленными выше правилами, поскольку этих правил достаточно для достижения целей данной книги.

Пример 1.18. Перевернутый маятник

Рассмотрим предложенную схему с пропорциональной обратной связью из примера 1.16, для которой характеристический полином замкнутой системы записывается в виде

Здесь к изменяется от 0 до Полюса равны в точке 0 имеется двукратный нуль. Асимптоты составляют углы с действительной осью при к так как Асимптоты пересекаются в точке Части действительной оси между и между принадлежат годографу. Полюс в 0 совпадает с нулем; это означает, что 0 всегда является одним из полюсов замкнутого контура. Годографы остальных корней для численных значений, заданных в примере 1.1, показаны на рис. 1.8. Очевидно, что замкнутая система не является устойчивой при любых k, что уже было показано

II примере 1.16.